Question

Последовательность задается рекуррентной формулой a1 = 10, an + 1 = 7an: а) Напишите 2-й и 3-й члены цепочки; б) Напишите формулу для n-го члена цепочки через n; в) Айбек сказал, что номер 3430 будет членом этой цепочки. Верно ли заявление Айбека? Обосновать ответ.

Answer 1

Ответ:

a) 70 и 490;   б) $a{_n}= 10 \cdot 7^{n-1}$    в) $a{_4}= 3430 .$

Объяснение:

а)

$a{_1}= 10;\\a{_{n+1}}= 7\cdot a{_n}$

$a{_2}= 7\cdot a{_1}=7\cdot 10=70;\\a{_3}= 7\cdot a{_2}=7\cdot 70=490.$

б)

По заданной формуле получается, что для того чтобы найти следующий член надо предыдущий умножить на 7 . Значит, являются членами геометрической прогрессии, первый член которой есть число 10, а знаменатель равен 7. Воспользуемся формулой n- го члена геометрической прогрессии

$b{_n} =b{_1}\cdot q^{n-1}$

Составим формулу n- го члена данной последовательности

$a{_n}= a{_1} \cdot 7^{n-1};\\a{_n}= 10 \cdot 7^{n-1}$

в)

Проверим является ли число 3430 членом данной последовательности. Для этого решим уравнение

$10 \cdot 7^{n-1}=3430|:10;\\7^{n-1}=343;\\7^{n-1}=7^{3} ;\\n-1=3;\\n=3+1;\\n=4.$

Так как  n= 4 является натуральным числом, то число 3430 будет четвертым членом данной последовательности, то есть

$a{_4}= 3430 .$

Answer 2

Дана рекуррентная формула для последовательности:

a1 = 10 an+1 = 7an

а) Найдем 2-й и 3-й члены цепочки:

a2 = 7a1 = 7 * 10 = 70 a3 = 7a2 = 7 * 70 = 490

б) Теперь найдем формулу для n-го члена цепочки через n. По данной рекуррентной формуле видно, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 7. Мы можем записать это в виде формулы:

an = 10 * 7^(n-1)

Это формула, которая позволяет найти любой член последовательности по его номеру n.

в) Айбек утверждает, что номер 3430 будет членом этой цепочки. Давайте проверим это утверждение, подставив n = 3430 в нашу формулу:

a3430 = 10 * 7^(3430-1)

a3430 = 10 * 7^3429

Рассчитать точное значение данного члена последовательности может потребовать много вычислений, и это может занять много времени. Однако можно с уверенностью сказать, что значение a3430 будет очень большим, так как каждый следующий член увеличивается в 7 раз по сравнению с предыдущим. Поэтому заявление Айбека верно, и номер 3430 действительно будет членом этой цепочки, но точное значение этого члена будет очень большим числом.