Question

Разложите на множители многочлен Результат представьте в виде (ax - by)(cx + dy)(mx + y)(x - ny) с натуральными a, b, c, d, m, n. В ответе запишите значения a, b, c, d, m, n. Пожалуйста с решением​

Answer 1

$4x^4 - 13x^2y^2 + 9y^4.$

Для удобства разложим $13x^2y^2$ как $4x^2y^2 + 9x^2y^2$.

$4x^4 - (4x^2y^2 + 9x^2y^2) + 9y^4 = 4x^4 - 4x^2y^2 - 9x^2y^2 + 9y^4 = 4x^2(x^2 - y^2) -\\-9y^2(x^2-y^2) = (x^2-y^2)(4x^2-9y^2) = (x-y)(x+y)(2x-3y)(2x+3y)$.

Перемещая множители, чтобы представить в виде (ax - by)(cx + dy)(mx + y)(x - ny), получаем $(2x-3y)(2x+3y)(x+y)(x-y)$. Сопоставив, получаем:

a = 2; b = 3; c = 2; d = 3; m = 1; n = 1.

Answer 2

Конечно, разложим многочлен на множители. Данный многочлен: \[P(x) = (ax - by)(cx + dy)(mx + y)(x - ny)\]

Для начала раскроем скобки поочередно. Начнем с первых двух множителей:

\[(ax - by)(cx + dy) = acx^2 + adxy - bcxy - bdy^2\] \[= acx^2 + (ad - bc)xy - bdy^2\]

Затем умножим результат на третий множитель:

\[ (acx^2 + (ad - bc)xy - bdy^2)(mx + y) \] \[= acmx^3 + (ad - bc)mx^2y - bdymx^2 + acxy^2 + (ad - bc)xy^2 - bdy^3\] \[= acmx^3 + (2ad - 2bc)mx^2y + (ac + ad - bc)xy^2 - bdy^3\]

И, наконец, умножим полученное выражение на четвертый множитель:

\[ (acmx^3 + (2ad - 2bc)mx^2y + (ac + ad - bc)xy^2 - bdy^3)(x - ny) \] \[= acmx^4 - acnxy^3 + (2ad - 2bc)mx^3y - (2ad - 2bc)nmx^2y^2 + (ac + ad - bc)mx^2y^2 - (ac + ad - bc)ny^3 - bdy^4 + bdnxy^3\]

Теперь мы можем сгруппировать полученные мономы:

\[ P(x) = acmx^4 + (2ad - 2bc - acn)mx^3y + (ac + ad - bc - 2adn + 2bcn)mx^2y^2 + (bdn - acn)xy^3 - (ac + ad - bc)ny^3 - bdy^4 \]

Таким образом, мы можем идентифицировать коэффициенты при каждом из мономов:

\[a = acm,\] \[b = -bd,\] \[c = 2ad - 2bc - acn,\] \[d = 0,\] \[m = ac + ad - bc - 2adn + 2bcn,\] \[n = -ac - ad + bc.\]