Question

Найдите: f'(x); f'(1), если f(x)=3^x*log₃x

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Объяснение:

Answer 2

Давайте найдем производную функции f(x) и вычислим ее значение при x = 1.

Сначала найдем производную f'(x) функции f(x):

f(x) = 3^x * log₃(x)

Для нахождения производной произведения двух функций используем правило производной произведения (производной умножения):

(fg)' = f'g + fg'

Где f' - производная первой функции, g' - производная второй функции.

1. Найдем производную первой функции f(x) = 3^x:

f'(x) = d/dx (3^x)

Для этого применим правило цепочки (chain rule):

f'(x) = ln(3) * 3^x

2. Теперь найдем производную второй функции g(x) = log₃(x):

g'(x) = d/dx (log₃(x))

Для нахождения производной натурального логарифма от x по основанию 3, используем правило изменения базы логарифма:

log₃(x) = ln(x) / ln(3)

Теперь найдем производную:

g'(x) = (1/ln(3)) * (1/x)

Теперь используем правило производной произведения:

f'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

f'(x) = (ln(3) * 3^x) * log₃(x) + (3^x) * (1/ln(3)) * (1/x)

Теперь мы найдем значение производной при x = 1:

f'(1) = (ln(3) * 3^1) * log₃(1) + (3^1) * (1/ln(3)) * (1/1)

Теперь у нас есть:

f'(1) = (ln(3) * 3) * 0 + 3 * (1/ln(3))

Так как log₃(1) равен 0, и 3^1 равно 3, мы получаем:

f'(1) = 0 + 3 * (1/ln(3))

Теперь осталось только вычислить значение производной f'(1):

f'(1) ≈ 3/ln(3)

Это значение можно приближенно вычислить, используя численные значения, например, встроенные в калькулятор.