Question

РЕШИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ МЕТОДОМ ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА: 2sinx-3cosx=6

Answer 1

$2sinx-3cosx=6\\\\2^2+3^2=4+9=13\ \ \ \to \ \ \ \ \ 2sinx-3cosx=6\ \Big| :\sqrt{13}\\\\\dfrac{2}{\sqrt{13}}\, sinx-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\, cosx=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\cos\phi \cdot sinx-sin\phi \cdot cosx=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\\star \ \ cos\phi =\dfrac{2}{\sqrt{13}}\ \ ,\ \ sin\phi =\dfrac{3}{\sqrt{13}}\ \ ,\ \ sin^2\phi +cos^2\phi =1\ ,$$tg\phi =\dfrac{sin\phi }{cos\phi }=\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ \phi =arctg\dfrac{3}{2}\ \ \star \\\\sin(x-\phi )=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\\\\x-\phi =(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z$

$x=\phi +(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=arctg\dfrac{3}{2}+(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{6}{\sqrt{13}}+\pi n\ ,\ n\in Z$

Answer 2

Ответ:

Уравнения такого сорта решаются введением новой функции. Нужны формулы Sinx = 2tgx/2 /(1 + tg²x/2)

Cosx = (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2)

После использования этих формул получим уравнение с одним неизвестным.

4 tgx/2 /(1 + tg²x/2) + 3 (1 - tg²x/2)/(1 + tg²x/2) = 6 | * (1 + tg²x/2) ≠ 0

4tg x/2 +3(1 - tg²x/2) = 6(1 + tg²x/2)

4tg x/2 +3 - 3 tg²x/2 = 6 + 6 tg²x/2

9 tg²x/2 - 4tgx/2 +3 = 0

Answer 3

Чтобы решить данное тригонометрическое уравнение, используем метод введения вспомогательного угла. Для этого введем новую переменную, скажем, `t`, и преобразуем уравнение.

Начнем с уравнения: 2sin(x) - 3cos(x) = 6

Сначала заметим, что угол `x` не может быть равен нулю, так как это привело бы к делению на ноль. Поэтому можем разделить оба выражения на `cos(x)`:

2sin(x)/cos(x) - 3cos(x)/cos(x) = 6/cos(x)

Используя тригонометрическое тождество sin(x)/cos(x) = tan(x), получаем:

2tan(x) - 3 = 6/cos(x)

Теперь заметим, что 6/cos(x) = 6sec(x). Здесь sec(x) обратная функция к cos(x):

2tan(x) - 3 = 6sec(x)

Теперь заменим `tan(x)` и `sec(x)` на соответствующие выражения с использованием вспомогательного угла `t`:

2sin(x)/cos(x) - 3 = 6/cos(x)

2sin(x)/(√(1 + tan^2(x))) - 3 = 6/(1/cos(x))

2sin(x)/√(1 + sin^2(x)) - 3 = 6cos(x)

2sin(x)/√(1 + sin^2(x)) - 6cos(x) = 3

Теперь введем вспомогательный угол `t`, определенный следующим образом:

sin(x) = sin(t)

Тогда получим:

2sin(t)/√(1 + sin^2(t)) - 6cos(t) = 3

Далее, используем тригонометрическое тождество sin^2(t) + cos^2(t) = 1:

2sin(t)/√(1 + sin^2(t)) - 6cos(t) = 3

2sin(t)/√(cos^2(t) + sin^2(t)) - 6cos(t) = 3

2sin(t)/√(1) - 6cos(t) = 3

2sin(t) - 6cos(t) = 3

Теперь решим это уравнение для `t`. Для этого можно использовать различные методы, например, методы подстановки или методы решения системы уравнений. Решение этого уравнения даст нам значения `t`. Затем, используя значения `t`, мы можем найти значения `x` с помощью обратных тригонометрических функций.

Обратите внимание, что решение этого уравнения может быть довольно сложным и может потребовать использования компьютерных программ или калькулятора для получения численных значений.