Question

Решите пример методом вспомогательного угла 2sinx-3cosx=2

Answer 1

Решите пример методом вспомогательного угла
2sinx-3cosx=2

вводим угол Ф такой что sinФ=b/sqrt(a^2+b^2) cosФ=a/sqrt(a^2+b^2)
a=2 b=-3
2/sqrt(13)sinx-3/sqrt(13)cosx=2/sqrt(13)
sin(x-Ф)=2/sqrt(13)
x-ф=(-1)^k*arcsin(2/sqrt(13))+Пk
x=(-1)^k*arcsin(2/sqrt(13))+Ф+Пk

Answer 2

Для решения уравнения $2\sin(x) - 3\cos(x) = 2$ методом вспомогательного угла, давайте введем новый угол $t$. Предположим, что:

$\sin(x) = \sin(t)$

и

$\cos(x) = \cos(t)$

Тогда уравнение примет вид:

$2\sin(t) - 3\cos(t) = 2$

Перепишем его, используя формулу синуса для разности углов:

$2(\sin(t) - \frac{3}{2}\cos(t)) = 2$

Теперь выразим $\sin(t)$ через $\cos(t)$ с использованием тригонометрической тождества $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$:

$\sin(t) = \sqrt{1 - \cos^2(t)}$

Подставим это выражение в уравнение:

$2(\sqrt{1 - \cos^2(t)} - \frac{3}{2}\cos(t)) = 2$

Решим это уравнение относительно $\cos(t)$, а затем найдем соответствующие значения для $\sin(t)$.

$2\sqrt{1 - \cos^2(t)} - 3\cos(t) = 1$

Теперь возвести обе стороны уравнения в квадрат:

$4(1 - \cos^2(t)) - 12\cos(t) + 9\cos^2(t) = 1$

Упростим:

$13\cos^2(t) - 12\cos(t) + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\cos(t)$. После нахождения $\cos(t)$, подставим его обратно в уравнение $\sin(t) = \sqrt{1 - \cos^2(t)}$ и найдем соответствующие значения для $\sin(t)$ и $\cos(t)$.

Заметим, что это уравнение имеет корень $\cos(t) = 1$, который соответствует $\sin(t) = 0$. Также уравнение имеет корень $\cos(t) = \frac{1}{13}$ (или $\cos(t) = \frac{3}{13}$), что дает положительные значения для $\sin(t)$ и $\cos(t)$. Окончательный ответ зависит от того, какой из корней $\cos(t)$ удовлетворяет вашему условию.