Question

МНОГО БАЛЛОВ Решите, пожалуйста: Cos2x=sqrt(2)*(cosx+sinx)- - методом разложения на множители Cos 2x+10cos^2x+5sinx=9 - свести к квадратному 3cosx-4sinx=2 - метод вспомогательного аргумента

Answer 1

$cos2x= \sqrt{2} (cosx+sinx)\\ cos^2x-sin^2x-\sqrt{2} (cosx+sinx)=0\\ (cosx-sinx)(cosx+sinx)-\sqrt{2} (cosx+sinx)=0\\ (cosx+sinx)(cosx-sinx- \sqrt{2} )=0\\ cosx=-sinx/:cosx \neq 0\\ tgx=-1\\ x=- \frac{ \pi }{4} + \pi n\\ cosx-sinx=\sqrt{2}/* \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} cosx- \frac{ \sqrt{2} }{2} sinx=1\\ cos \frac{ \pi }{4} *cosx- sin\frac{ \pi }{4} *sinx=1\\ cos (\frac{ \pi }{4} +x)=1\\ \frac{ \pi }{4} +x=2 \pi m\\ x=- \frac{ \pi }{4} +2 \pi m$

$cos2x+10cos^2x+5sinx=9\\ cos^2x-sin^2x+10cos^2x+5sinx-9=0\\ 11cos^2x-sin^2x+5sinx-9=0\\ 11(1-sin^2x)-sin^2x+5sinx-9=0\\ 11-11sin^2x-sin^2x+5sinx-9=0\\ -12sin^2x+5sinx+2=0\\ 12sin^2x-5sinx-2=0\\ D=5^2-4*12*(-2)=25+96=121\\ sinx= \frac{5+11}{24}= \frac{16}{24} = \frac{2}{3}, \ x=(-1)^narcsin \frac{2}{3}+ \pi n \\ sinx= \frac{5-11}{24} =- \frac{6}{24} =- \frac{1}{4}, \ x=(-1)^narcsin(-\frac{1}{4})+ \pi n$

$3cosx-4sinx=2/: \sqrt{3^2+4^2} \\ \frac{3}{5} cosx- \frac{4}{5} sinx= \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} =sin \alpha \\ \frac{4}{5}=cos \alpha \\ sin \alpha cosx-cos \alpha sinx= \frac{2}{5} \\ sin( \alpha -x)= \frac{2}{5} \\ \alpha -x=(-1)^narcsin \frac{3}{5} + \pi n\\ x= \alpha -(-1)^narcsin \frac{3}{5} - \pi n$

Answer 2

Решение первого уравнения методом разложения на множители:

Используя формулу двойного угла для косинуса, имеем:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

2cos^2(x) - 1 = sqrt(2)*(cos(x) + sin(x))

Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные:

2cos^2(x) - sqrt(2)*cos(x) - sqrt(2)*sin(x) - 1 = 0

Разлагаем выражение на множители, используя формулу квадратного трехчлена:

cos(x) = [sqrt(2) ± sqrt(6)]/4 или cos(x) = [-sqrt(2) ± sqrt(6)]/4

При этом sin(x) = [sqrt(2) ± sqrt(3)]/4 для первого случая и sin(x) = [-sqrt(2) ± sqrt(3)]/4 для второго случая.

Решение второго уравнения:

Переносим все члены в одну сторону:

10cos^2(x) + 5sin(x) - 9 = -cos(2x)

Используя формулу двойного угла для косинуса, получаем:

10cos^2(x) + 5sin(x) - 9 = -2cos^2(x) + 1

Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные:

12cos^2(x) + 5sin(x) - 10 = 0

Решение третьего уравнения методом вспомогательного аргумента:

Для начала переведем данное уравнение к виду:

3cos(x) - 4sin(x) = 2

Теперь введем новую переменную t такую, что:

t = tan(x/2)

Тогда:

cos(x) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

sin(x) = 2t/(1 + t^2)

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

3(1 - t^2)/(1 + t^2) - 4(2t)/(1 + t^2) = 2

Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные:

5t^2 + 6t - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

t = (-6 ± sqrt(76))/10

Теперь находим cos(x) и sin(x) из соотношений выше.