Question

Решите уравнение методом введения вспомогательного аргумента: √3cosx/2+sinx/2=1

Answer 1

Формула: $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x\pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ) \\ \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{3+1} =2 \\ \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} =\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\sqrt{3} \cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2} =1 \\ 2\sin( \frac{x}{2} +\frac{\pi}{6})=1 \\ \sin( \frac{x}{2} +\frac{\pi}{6})= \frac{1}{2} \\ \frac{\pi}{6}+ \frac{x}{2} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k,k \in Z \\ \frac{x}{2} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6} -\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+2 \pi k,k \in Z$

Answer 2

Дано уравнение: √3cos(x/2) + sin(x/2) = 1

Чтобы решить его методом введения вспомогательного аргумента, мы заменим угол x/2 на новый угол t, чтобы упростить уравнение.

Подставим замену в уравнение и решим его:

√3cos(t) + sin(t) = 1

Так как мы ввели новую переменную t, мы решаем это уравнение как уравнение с одной переменной.

Выражаем sin(t) через cos(t), используя тригонометрическую тождественность sin^2(t) + cos^2(t) = 1:

sin(t) = 1 - √3cos(t)

Теперь подставляем это выражение в уравнение:

√3cos(t) + 1 - √3cos(t) = 1

Упрощаем уравнение:

1 = 1

Таким образом, получаем тождественное уравнение, которое верно для любого значения t.

Таким образом, исходное уравнение √3cos(x/2) + sin(x/2) = 1 имеет бесконечное количество решений.