Question

При яких значеннях а і b розв`язання системи рівнянь 5x-ay=10 { bx+2y=4 є пара чисел (2;-1)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

10+a=10

2b-2=4

a=0

b=3

Answer 2

Задача полягає у знаходженні значень параметрів \(a\) та \(b\), при яких задана система рівнянь має розв'язок і цей розв'язок дорівнює парі чисел \((2, -1)\).

Спочатку перевіримо, чи система має розв'язок при певних значеннях \(a\) та \(b\). Для цього використаємо метод визначників (метод Крамера).

Запишемо задану систему у вигляді матриць:

\[ \begin{bmatrix} 5 & -a \\ b & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Іншими словами, маємо таку систему:

\[ \begin{align*} 5x - ay &= 10, \\ bx + 2y &= 4. \end{align*} \]

Далі, застосуємо метод Крамера для знаходження розв'язку системи. Він базується на обчисленні визначників матриць.

Визначник основної матриці системи рівнянь \(D\) рахується за формулою:

\[D = \begin{vmatrix} 5 & -a \\ b & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - (-a) \cdot b = 10 + ab.\]

Якщо \(D \neq 0\), система має єдиний розв'язок, який обчислюється за формулами:

\[x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D},\]

де \(D_x\) і \(D_y\) - визначники матриць, що отримуються заміною стовпчика \(x\) у основній матриці стовпчиком вільних членів, а стовпчика \(y\) - стовпчиком вільних членів відповідно.

\[D_x = \begin{vmatrix} 10 & -a \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 10 \cdot 2 - (-a) \cdot 4 = 20 + 4a.\]

\[D_y = \begin{vmatrix} 5 & 10 \\ b & 4 \end{vmatrix} = 5 \cdot 4 - 10 \cdot b = 20 - 10b.\]

Отже, маємо:

\[x = \frac{20 + 4a}{10 + ab}, \quad y = \frac{20 - 10b}{10 + ab}.\]

Тепер, для того, щоб розв'язок системи був \((2, -1)\), ми повинні мати:

\[x = 2, \quad y = -1.\]

Підставимо ці значення в вирази для \(x\) та \(y\) і отримаємо два рівняння з двома невідомими \(a\) та \(b\):

\[2 = \frac{20 + 4a}{10 + ab}, \quad -1 = \frac{20 - 10b}{10 + ab}.\]

Розв'язавши цю систему рівнянь, ми зможемо знайти значення параметрів \(a\) та \(b\), при яких задана система рівнянь має розв'язок, який дорівнює \((2, -1)\).