Question

Функция f(x)=12x-x³ найти а) промежутки возраст. и убыв. б) точки мах и min в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3]

Answer 1

Дана функция f(x)=12x-x³
найти
а) промежутки возрастания и убывания.
Находим производную.
y' = 12 - 3x² и приравняем нулю.
12 - 3x² = 3(4 - x²) = 0.
Отсюда находим 2 критические точки: х = 2 и х = -2.
Имеем 3 промежутка монотонности: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
x =   -3     -2       0      2       3
y' = -15     0      12     0      -15.
Функция возрастает на промежутке (-2; 2),
убывает на промежутках (-∞; -2) и (2; +∞).

б) точки мах и min.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -2 минимум функции,
 в точке х = 2 максимум функции.

в) наибольшее и наименьшее значение на [-1;3].
Минимум на этом промежутке в точке х = -1, у = 12*(-1)-(-1)³ = -11.
Максимум по пункту б) в точке х = 2.

Answer 2

Давайте начнем с анализа функции f(x) = 12x - x³.

а) Промежутки возрастания и убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно определить её производную и найти интервалы, на которых производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

f(x) = 12x - x³ f'(x) = 12 - 3x²

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

12 - 3x² = 0 3x² = 12 x² = 4 x = ±2

Теперь мы знаем, что производная равна нулю в точках x = -2 и x = 2. Мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить промежутки возрастания и убывания:

| Интервал | f'(x) > 0 (возрастает) | f'(x) < 0 (убывает) | |:------------:|:-----------------------:|:---------------------:| | (-∞, -2) | - | + | | (-2, 2) | + | - | | (2, ∞) | + | - |

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале (-∞, -2) и (2, ∞), а убывает на интервале (-2, 2).

б) Точки максимума и минимума:

Для нахождения точек максимума и минимума функции нам нужно анализировать экстремумы на интервалах, которые мы определили ранее.

На интервале (-∞, -2) функция возрастает, поэтому здесь нет локальных минимумов или максимумов.

На интервале (-2, 2) функция убывает. Чтобы найти точку максимума, нам нужно исследовать конец этого интервала (x = -2) и начало интервала (x = 2). Найдем значения функции в этих точках:

f(-2) = 12*(-2) - (-2)³ = -24 - (-8) = -16 f(2) = 12*2 - 2³ = 24 - 8 = 16

Из результатов видно, что в точке x = -2 функция имеет локальный максимум f(-2) = -16, а в точке x = 2 функция имеет локальный минимум f(2) = 16.

На интервале (2, ∞) функция также убывает, но поскольку мы уже нашли локальный минимум в точке x = 2, здесь больше нет других экстремумов.

в) Наибольшее и наименьшее значение на интервале [-1; 3]:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале [-1; 3], нам нужно рассмотреть значения функции в концах этого интервала и в точках экстремума, которые мы уже нашли.

f(-1) = 12*(-1) - (-1)³ = -12 + 1 = -11 f(3) = 12*3 - 3³ = 36 - 27 = 9

Таким образом, на интервале [-1; 3] наименьшее значение функции равно -11 и достигается в точке x = -1, а наибольшее значение функции равно 9 и достигается в точке x = 3.