Question

Решите уравнение: (cos 2x + √2 cos x + 1) / (tg x - 1) = 0. Решите уравнение: sin^2 x + 3 sin x cos x + 2cos^2 x = 0.

Answer 1

Ответ есть во вложении.

Удачи Вам и успехов)!

Answer 2

Решите уравнение: $\dfrac{\cos 2x + \sqrt{2} \cos x + 1}{\text{tg} \, x - 1} = 0$

Решите уравнение: $\sin^{2} x + 3\sin x \cos x + 2\cos^{2}x = 0$

Answer 3

Для решения первого уравнения:

(cos 2x + √2 cos x + 1) / (tg x - 1) = 0

Сначала найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

tg x - 1 = 0

tg x = 1

x = π/4 + πn, где n - целое число.

Теперь рассмотрим числитель:

cos 2x + √2 cos x + 1 = 0

Применим формулу двойного угла для cos 2x:

2cos^2 x - 1 + √2 cos x + 1 = 0

2cos^2 x + √2 cos x = 0

cos x (2cos x + √2) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

cos x = 0

и

2cos x + √2 = 0

Для первого уравнения получаем:

x = π/2 + πn, где n - целое число.

Для второго уравнения:

2cos x = -√2

cos x = -√2/2

x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решение исходного уравнения будет состоять из объединения всех полученных значений x:

x = π/4 + πn, π/2 + πn, 3π/4 + 2πn, где n - целое число.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

sin^2 x + 3 sin x cos x + 2cos^2 x = 0

Применим формулу двойного угла для sin 2x:

1 - cos^2 x + 3 sin x cos x + 2(1 - sin^2 x) = 0

-3 sin^2 x + 3 sin x cos x + 2 cos^2 x + 1 = 0

Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена:

(2 cos^2 x + 3 sin x cos x - 3 sin^2 x) + 1 = 0

(2 cos^2 x + 2 sin x cos x + sin x cos x - 3 sin^2 x) + 1 = 0

2(cos^2 x + sin x cos x) + sin x(cos x - 3 sin x) + 1 = 0

2(cos x + sin x)(cos x - sin x) + sin x(cos x - 3 sin x) + 1 = 0

(cos x - sin x)(2(cos x + sin x) - sin x) + 1 = 0

(cos x - sin x)(2 cos x + sin x) + 1 = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

cos x - sin x = 0

и

2 cos x + sin x = -1

Для первого уравнения получаем:

x = π/4 + 2πn, где n - целое число.

Для второго уравнения:

2 cos x = -1 - sin x

4 cos^2 x = 1 + 2 sin x + sin^2 x

4(1 - sin^2 x) = 1 + 2 sin x + sin^2 x

4 - 4 sin^2 x = 1 + 2 sin x + sin^2 x

5 sin^2 x + 2 sin x - 3 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем:

sin x = 1/5 или sin x = -3

Для sin x = 1/5:

x = arcsin(1/5) + 2πn или x = π - arcsin(1/5) + 2πn, где n - целое число.

Для sin x = -3 нет решений, так как значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1.

Таким образом, решение исходного уравнения будет состоять из объединения всех полученных значений x:

x = π/4 + 2πn, π/2 + πn, arcsin(1/5) + 2πn, π - arcsin(1/5) + 2πn, где n - целое число.