Question

6." Розв'яжіть рівняння х? +y2 - 8х +12 y + 52 = 0.​

Answer 1

Ответ:

Чтобы решить данное уравнение выделим полные квадраты, используя формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²,  (a - b)² = a² - 2ab + b².

x² - 8x + y² + 12y + 52 = 0,

х² - 2 · 4 · х + 4² - 4² + у² - 2 · у · 6 + 6² - 6² + 52 = 0,

(x - 4)² - 16 + (y + 6)² - 36 + 52 = 0,

(x - 4)² + (y + 6)² = 0.

Т.к. левая часть принимает только неотрицательные значения при любых значениях переменных х и у, то сумма двух неотрицательных выражений равна 0 только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно 0, т.е. при x - 4 = 0 и  y + 6 = 0, откуда x = 4, y = -6.

Ответ: (4; - 6) или  x = 4, y = -6.

Answer 2

Розв'яжемо дане рівняння х^2 - 8х + 12у + 52 = 0.

Спочатку спробуємо розділити це рівняння на дві частини за допомогою змінної t:

х^2 - 8х = -12у - 52 х^2 - 8х + t = -12у - 52 + t

Тепер нам потрібно знайти таке значення t, щоб ліва частина рівняння стала квадратним тричленом. Для цього треба додати (8/2)^2 = 16 до обох боків рівняння:

х^2 - 8х + 16 + t = -12у - 52 + t + 16 (х - 4)^2 + t = -12у - 36

Отже, отримуємо нове рівняння (х - 4)^2 + t = -12у - 36.

Тепер наша мета - привести праву частину до квадратного тричлена. Щоб це зробити, додамо 36 до обох боків рівняння:

(х - 4)^2 + t + 36 = -12у

Таким чином, наше рівняння має вигляд (х - 4)^2 + t + 36 = -12у.

Оце наше рівняння в стандартній формі. Тепер ми можемо порівняти його з квадратним тричленом: (х - a)^2 = -b.

Звідси можемо записати значення a та b:

a = 4 b = -(t + 36)

Таким чином, ми отримали, що (х - 4)^2 = - (t + 36).

З останнього рівняння можна дізнатися, що (х - 4)^2 має бути від'ємним числом, але це неможливо, так як квадрат будь-якого числа є невід'ємним.

Отже, дане рівняння х^2 - 8х + 12у + 52 = 0 не має розв'язків.