Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: y=2sin²x на отрезке (π/2; 3π/4) СРОЧНОООО, ПОЖАЛУЙСТА!!! ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: y=2sin²x на отрезке [π/2; 3π/4]⇒ y'= 4Sinx·Cosx=2Sin2x. Найдём критические точки: y'=0, если 2Sin2x=0⇒Sin2x=0⇒2x=nπ,где n∈Z, x=nπ/2,где n∈Z. На промежутке[π/2; 3π/4] критических точек нет, т.к. при n=1   x=π/2∈ (π/2; 3π/4];  при n=2  x=π∉ [π/2; 3π/4]. Найдём значения  функции на концах отрезка и в критической точке и сравним: у(π/2) = 2·Sin²(π/2)= 2· 1²= 2;   у(3π/4)=2·Sin²(3π/4)= 2·(√2/2)² = 2·(2/4) =1, значит на [π/2; 3π/4]  max y=у(π/2)=2, min y =y(3π/4)=1

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2sin²x на отрезке (π/2, 3π/4), мы можем использовать производную функции.

Давайте начнем с нахождения производной функции y = 2sin²x. Для этого мы применим правило производной для функции синуса и правило производной для функции возводения в квадрат:

y' = d/dx (2sin²x) = 2 * d/dx (sin²x) = 2 * 2sinx * cosx = 4sinx * cosx

Далее, мы можем найти критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы ищем эти точки на отрезке (π/2, 3π/4).

Уравнение производной равно нулю: 4sinx * cosx = 0

Это уравнение будет равно нулю, когда sinx = 0 или cosx = 0.

Находим значения x, для которых sinx = 0: sinx = 0 x = 0, π, 2π, ...

Находим значения x, для которых cosx = 0: cosx = 0 x = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

Однако, в данном случае нам нужно найти значения на отрезке (π/2, 3π/4). Поэтому, мы рассматриваем только значения x, лежащие в этом интервале.

Значение x = π/2 не входит в этот интервал, поэтому мы его исключаем.

Значения x = π и x = 2π также не входят в этот интервал, поэтому мы их также исключаем.

Остаются только значения x = 3π/2 и x = 5π/2.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y нашей функции, мы подставляем эти значения x в исходную функцию y = 2sin²x:

y(3π/2) = 2sin²(3π/2) = 2 * 1² = 2 y(5π/2) = 2sin²(5π/2) = 2 * 1² = 2

Таким образом, наибольшее значение функции y = 2sin²x на отрезке (π/2, 3π/4) равно 2, а наименьшее значение также равно 2.

Итак, наибольшее и наименьшее значения функции y = 2sin²x на отрезке (π/2, 3π/4) равны 2.