Question

Решите тригонометрическое ур-ние : 2cos²x + √2sinx = 0

Answer 1

$2\cos^2x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$2(1-\sin^2x) + \sqrt{2} \sin x = 0\\2-2\sin^2x+\sqrt{2} \sin x = 0\\2\sin^2x-\sqrt{2} \sin x-2 = 0$

$D=(-\sqrt{2})^2-4\cdot2\cdot(-2)=2+16=18$

$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{18}}{2\cdot2} =\dfrac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}= \dfrac{4\sqrt{2}}{4} =\sqrt{2}\\\sin x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{18}}{2\cdot2} =\dfrac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{4} =\dfrac{-2\sqrt{2}}{4} =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin x=\sqrt{2}$ не имеет решений поскольку синус принимает значения на отрезке от -1 до 1.

Решаем второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x=(-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\pi k\\x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Ответ:

$\frac{7\pi}{4} + 2\pi \: k$

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi \: k$

Answer 3

Для решения тригонометрического уравнения 2cos²x + √2sinx = 0, можно использовать следующие шаги:

- Преобразовать квадрат косинуса в синус с помощью формулы 2cos²x = 1 + cos(2x). - Получить уравнение вида sinx(√2 + cos(2x)) = 0. - Разложить на множители и приравнять каждый множитель к нулю. - Найти все решения в общем виде, используя основные значения синуса и косинуса. - Учесть периодичность тригонометрических функций и записать ответ в виде множества.

Подробное решение можно посмотреть по ссылке [здесь](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/equal-one/any-uravnenie/e/2_kosinus_ot_2_x_plyus_3_sinus_ot_x_ravno_nol/). Там же можно найти график функции и проверить корни уравнения. Ответ: x ∈ {πn - π/4; πn + π/4; π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn}, где n - любое целое число.