Question

В равенстве АМ×ЭМ = МЭ×МА разные буквы обозначают разные цифры. Докажите что М/Э = А/М​

Answer 1

Запишем равенство через цифры : A,Э,M

(10A+M)(10Э+M)=(10M+Э)(10M+A)

Заметим, что цифра M не может быть нулем, ибо нуль не может стоять вначале двузначного числа, таким образом, можно поделить обе части равенства на M^2, деля при этом на M каждую из скобок:

(10A/M+1)(10Э/M+1)=(10+Э/M)(10+A/M)

Для удобства обозначим:

A/M=x;  

Э/M=y;  

(10x+1)(10y+1)=(10+x)(10+y)

100xy+10x+10y+1 = 100+10y+10x+xy

100xy+1=xy+100

99xy=99

xy=1

1/y=x

М/Э = А/М​

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

\[ АМ \times ЭМ = МЭ \times МА \]

Здесь \(А\), \(М\), и \(Э\) - различные цифры. Давайте обозначим их конкретными цифрами: \(А\) - это некоторая цифра, \(М\) - другая цифра, и \(Э\) - ещё одна цифра. Поскольку в уравнении используются разные буквы, это значит, что соответствующие цифры также различны.

Теперь рассмотрим отношение \(М/Э\). Если мы докажем, что \(М/Э = А/М\), то утверждение будет доказано.

У нас есть уравнение:

\[ АМ \times ЭМ = МЭ \times МА \]

Теперь давайте поделим обе стороны на \(МЭ\):

\[ АМ/МЭ \times ЭМ = МА \]

Теперь у нас есть:

\[ АМ/МЭ = МА/ЭМ \]

Из этого следует, что:

\[ М/Э = А/М \]

Таким образом, доказано, что \(\frac{М}{Э} = \frac{А}{М}\), как требовалось.