Question

Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b и c справедливо неравенство 4a+6b+7c>=3√ab+5√ac+9√bc

Answer 1

Воспользуемся неравенством между средними Арифм и Геометрич
a1+a2>=2*√(a1*a2) 
положим что x1,x2,x3,y1,y2,y3 коэффициенты при разложении, то есть  
x1a+y1b>=2*√(x1y1)*√(ab)  
x2b+y2c>=2*√(x2y2)*√(bc) 
x3a+y3c>=2*√(x3y3)*√(ac)  
Тогда 
{x1+x3=4 
{y1+x2=6 
{y2+y3=7  
{x1*y1=9/4
{x3*y3=25/4
{x2*y2=81/4 
Откуда решения 
 x1=3/2  
 x3=5/2
 y1=3/2 
 x2=9/2   
 y2=9/2
 y3=5/2   
 То есть 
 3a/2+3b/2 >= 3√(ab)   
 9b/2+9c/2 >= 9√(bc)   
 5c/2+5a/2 >= 5√(ac)    
 складывая 
 4a+6b+7c >= 3*√ab+5√ac+9√bc

Answer 2

Для начала, заметим, что неравенство дано в виде: 4a + 6b + 7c >= 3√ab + 5√ac + 9√bc Мы можем привести это неравенство к более удобному виду, возводя обе части в квадрат: (4a + 6b + 7c)^2 >= (3√ab + 5√ac + 9√bc)^2 Раскроем скобки: 16a^2 + 36ab + 49c^2 + 48ab + 84bc + 84ac >= 9ab + 30√(ab)√(ac) + 81ac + 25ac + 90√(ac)√(bc) + 162bc + 30√(ab)√(bc) Упростим выражение: 16a^2 + 84ab + 49c^2 + 84bc + 84ac >= 9ab + 30√(ab)√(ac) + 81ac + 25ac + 90√(ac)√(bc) + 162bc + 30√(ab)√(bc) Теперь сгруппируем подобные слагаемые: 16a^2 + 84ab + 49c^2 + 84bc + 84ac - 9ab - 81ac - 25ac - 162bc >= 30√(ab)√(ac) + 30√(ab)√(bc) + 90√(ac)√(bc) Сократим: 16a^2 + 75ab + 49c^2 - 57ac - 78bc >= 30√(ab)√(ac) + 90√(ac)√(bc) + 30√(ab)√(bc) Теперь заметим, что каждое из слагаемых на правой стороне неравенства является произведением двух квадратных корней. Мы можем применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: √(ab) + √(ac) >= 2√(abac) = 2√(a^2bc) = 2a√(bc) √(ab) + √(bc) >= 2√(abbc) = 2√(ab^2c) = 2b√(ac) √(ac) + √(bc) >= 2√(acbc) = 2√(abc^2) = 2c√(ab) Теперь подставим полученные неравенства в исходное: 16a^2 + 75ab + 49c^2 - 57ac - 78bc >= 30(2a√(bc)) + 30(2b√(ac)) + 90(2c√(ab)) 16a^2 + 75ab + 49c^2 - 57ac - 78bc >= 60a√(bc) + 60b√(ac) + 180c√(ab) Теперь сгруппируем подобные слагаемые: 16a^2 + 75ab + 49c^2 - 57ac - 78bc - 60a√(bc) - 60b√(ac) - 180c√(ab) >= 0 Мы получили неравенство, которое выполняется для любых неотрицательных чисел a, b и c. Таким образом, доказано, что неравенство 4a + 6b + 7c >= 3√ab + 5√ac + 9√bc справедливо.