Question

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке x0: f(x)=2^x ; x0 = 0

Answer 1

Уравнение касательной имеет вид: $y=f(x_{0} )+f'(x_{0} )(x-x_{0} );$
1) найдем f (x0)=f (0)=$2^{0}$=1;
2) найдем f'(x)=($2^{x}$)'=$2^{x} lnx$;
3) найдем $f'(x_{0} )=f'(0)=2^{0} ln2=1*ln2=ln2$;
4) подставим все в уравнение касательной, получим
y=1+ln2 (x-0)=1+xln2
Итак, уравнение касательной имеет вид: y=xln2+1

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке x0, нам нужно знать производную функции в этой точке. В данном случае, функция f(x) = 2^x, и мы хотим найти касательную к этому графику в точке x0 = 0. 1. Начнем с вычисления производной функции f(x). Поскольку 2^x - это степенная функция, производная будет иметь вид: f'(x) = ln(2) * 2^x [Source 9](https://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaya-k-grafiku-funktsii-v-tochke-uravnenie-kasatelnoj-geometricheskij-smysl-proizvodnoj.html) 2. Теперь мы можем подставить x0 = 0 в производную, чтобы получить значение производной в точке x0: f'(0) = ln(2) * 2^0 = ln(2) [Source 9](https://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaya-k-grafiku-funktsii-v-tochke-uravnenie-kasatelnoj-geometricheskij-smysl-proizvodnoj.html) 3. Используя полученное значение производной, мы можем составить уравнение касательной к графику функции в точке x0. Уравнение касательной имеет вид: y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0) [Source 9](https://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaya-k-grafiku-funktsii-v-tochke-uravnenie-kasatelnoj-geometricheskij-smysl-proizvodnoj.html) 4. Подставим в это уравнение значения производной и точки x0: y - f(0) = ln(2) * (x - 0) y - 1 = ln(2) * x y = ln(2) * x + 1 [Source 9](https://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaya-k-grafiku-funktsii-v-tochke-uravnenie-kasatelnoj-geometricheskij-smysl-proizvodnoj.html) Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 2^x в точке x0 = 0 будет иметь вид y = ln(2) * x + 1.