Question

Довести тотожність а) tg8a-ctg8a=-2ctg16a б) (cos(π/2-5a)-sin(π+3a))(sin(π/2+3a)-cos(π+5a))/1+cos(2π-2a)=sin8a

Answer 1

$1)tg8\alpha-Ctg8\alpha=\frac{Sin8\alpha}{Cos8\alpha}-\frac{Cos8\alpha}{Sin8\alpha}=\frac{Sin^{2}8\alpha-Cos^{2}8\alpha}{Sin8\alpha Cos8\alpha}=\frac{-Cos16\alpha}{Sin8\alpha Cos8\alpha}=\frac{-2Cos16\alpha}{2Sin8\alpha Cos8\alpha}=\frac{-2Cos16\alpha}{Sin16\alpha}=-2Ctg16\alpha\\\\-2Ctg16\alpha=-2Ctg16\alpha$

$2)\frac{(Cos(\frac{\pi}{2}-5\alpha)-Sin(\pi+3\alpha))(Sin(\frac{\pi }{2}+3\alpha)-Cos(\pi+5\alpha))}{1+Cos(2\pi-2\alpha)} =\frac{(Sin5\alpha+Sin3\alpha)(Cos3\alpha+Cos5\alpha)}{1+Cos2\alpha}=\frac{2Sin4\alpha Cos\alpha*2Cos4\alpha Cos\alpha}{1+Cos2\alpha}=\frac{2Sin4\alpha*Cos4\alpha*2Cos^{2}\alpha }{2Cos^{2}\alpha}=Sin8\alpha\\\\Sin8\alpha=Sin8\alpha$

Answer 2

а) Для доведения тождества tg(8a) - ctg(8a) = -2ctg(16a), воспользуемся формулами тангенса и котангенса двойного угла: tg(2x) = (2tg(x))/(1 - tg^2(x)) ctg(2x) = (ctg^2(x) - 1)/(2ctg(x)) Применим эти формулы: tg(16a) = (2tg(8a))/(1 - tg^2(8a)) ctg(16a) = (ctg^2(8a) - 1)/(2ctg(8a)) Заменяем эти значения в исходной тождестве: tg(8a) - ctg(8a) = -2((ctg^2(8a) - 1)/(2ctg(8a))) Сокращаем двойки: tg(8a) - ctg(8a) = -(ctg^2(8a) - 1)/ctg(8a) Переносим все слагаемые влево: tg(8a) - ctg(8a) + (ctg^2(8a) - 1)/ctg(8a) = 0 Общий знаменатель сокращаем: tg(8a) * ctg(8a) - ctg(8a) + ctg^2(8a) - 1 = 0 Сгруппируем слагаемые: ctg^2(8a) + tg(8a) * ctg(8a) - ctg(8a) - 1 = 0 Применим формулу синуса и косинуса котангенса: ctg(x) = 1/tg(x) = sin(x)/cos(x) ctg^2(8a) + tg(8a) * (sin(8a)/cos(8a)) - (sin(8a)/cos(8a)) - 1 = 0 Приведем к общему знаменателю: (ctg^2(8a) * cos(8a) + sin(8a) - (sin(8a)*cos(8a)) - cos(8a))/cos(8a) = 0 Упрощаем числитель: (ctg^2(8a) - sin(8a)*cos(8a))/cos(8a) = 0 Раскрываем и заменяем значения котангенса через синус и косинус: ((cos^2(8a)/sin^2(8a)) - sin(8a)*cos(8a))/cos(8a) = 0 Приводим дробь к общему знаменателю: (cos^2(8a) - sin(8a)*cos(8a)*sin^2(8a))/sin^2(8a)*cos(8a) = 0 Раскрываем скобки: (cos^2(8a) - sin^3(8a)*cos(8a))/sin^2(8a)*cos(8a) = 0 Сокращаем cos(8a) в числителе и знаменателе: (cos(8a) - sin^3(8a))/sin^2(8a) = 0 Полученное выражение не совпадает с исходной тождеством tg(8a) - ctg(8a) = -2ctg(16a), поэтому оно неверно. б) Так как данное уравнение достаточно сложное, давайте преобразуем его с помощью формулы d = sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB: (cos(π/2 - 5a) - sin(π + 3a))(sin(π/2 + 3a) - cos(π+5a))/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Перепишем первое слагаемое: cos(π/2 - 5a) = cos(π/2)cos(5a) + sin(π/2)sin(5a) = sin(5a) Аналогично для второго слагаемого: sin(π + 3a) = sin(π)cos(3a) + cos(π)sin(3a) = -sin(3a) Для третьего слагаемого: cos(π + 5a) = cos(π)cos(5a) - sin(π)sin(5a) = -sin(5a) Теперь упростим числитель: (sin(5a) - sin(3a))(-sin(3a) - sin(5a))/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Раскроем скобки: sin^2(5a) - sin^2(3a)/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Приведем числители к общему знаменателю: (sin^2(5a) - sin^2(3a))(1 + cos(2π - 2a))/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Теперь выполняем следующие преобразования: (sin^2(5a) - sin^2(3a) + sin^2(5a)cos(2π - 2a) - sin^2(3a)cos(2π - 2a))/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Сокращаем: (2sin^2(5a) - 2sin^2(3a))/(1 + cos(2π - 2a)) = sin 8a Применяем формулу разности косинусов: (2sin^2(5a) - 2sin^2(3a))/(1 + cos(-2a)) = sin 8a Выразим sin^2(x) через cos^2(x): (2(1 - cos^2(5a)) - 2(1 - cos^2(3a)))/(1 + cos(-2a)) = sin 8a Раскроем скобки: (2 - 2cos^2(5a) - 2 + 2cos^2(3a))/(1 + cos(-2a)) = sin 8a Сокращаем: (2cos^2(3a) - 2cos^2(5a))/(1 + cos(-2a)) = sin 8a Теперь применим формулу cos(2x): cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) cos(-2a) = cos^2(-a) - sin^2(-a) = cos^2(a) - sin^2(a) cos(a) = √(1 - sin^2(a)) Подставим эти значения: (2cos^2(3a) - 2cos^2(5a))/(1 + cos^2(a) - sin^2(a)) = sin 8a Раскроем квадраты: (2(1 - sin^2(3a)) - 2(1 - sin^2(5a)))/(1 + cos^2(a) - sin^2(a)) = sin 8a Упростим: (2 - 2sin^2(3a) - 2 + 2sin^2(5a))/(1 - sin^2(a)) = sin 8a Сокращаем слагаемые: (2sin^2(5a) - 2sin^2(3a))/(1 - sin^2(a)) = sin 8a Действуем дальше: (2sin^2(5a) - 2sin^2(3a))/(cos^2(a)) = sin 8a Выражаем sin^2(x) через cos^2(x): (2(1 - cos^2(5a)) - 2(1 - cos^2(3a)))/(cos^2(a)) = sin 8a Раскроем скобки: (2 - 2cos^2(5a) - 2 + 2cos^2(3a))/(cos^2(a)) = sin 8a С