Question

Решить уравнение x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0,  поделим все на x^2 не=0,

(x^2+1/x^2)-5(x+1/x)+8=0  (A),  пусть  x+1/x=y,  тогда  x^2+2*x*1/x+1/x^2=y^2,

x^2+1/x^2=y^2-2,  подставим эти значения в (A),  y^2-2-5y+8=0,  y^2-5y+6=0,

корни  у=3,  у=2,   обратная замена: x+1/x=3,  или  x+1/x=2,  решаем эти ур-я,  x^2-3x+1=0,  D=9-4=5,  x=3+V5/ 2,  x=3-V5 /2,   x^2-2x+1=0,  (x-1)^2=0,  x=1

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0\), давайте воспользуемся методом подстановки и попробуем найти его корни. Для начала, давайте проверим, существуют ли рациональные корни этого уравнения, используя рациональный корневой теоремой (Rational Root Theorem). Согласно этой теореме, любой рациональный корень \(\frac{p}{q}\) этого уравнения должен удовлетворять следующим условиям: 1. \(p\) - делитель свободного члена (1 в данном случае). 2. \(q\) - делитель старшего коэффициента (коэффициент при \(x^4\), который равен 1 в данном случае). Таким образом, мы должны рассмотреть все делители числа 1 и определить, существуют ли рациональные корни. Делители числа 1 - это 1 и -1. Следовательно, возможные рациональные корни этого уравнения -1 и 1. Давайте попробуем подставить эти значения в уравнение, чтобы проверить, являются ли они его корнями: 1. Если \(x = -1\): \((-1)^4 - 5(-1)^3 + 8(-1)^2 - 5(-1) + 1 = 1 + 5 + 8 + 5 + 1 = 20\) 2. Если \(x = 1\): \((1)^4 - 5(1)^3 + 8(1)^2 - 5(1) + 1 = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0\) Мы видим, что \(x = 1\) является корнем уравнения, так как при подстановке значение становится равным 0. Теперь, чтобы решить уравнение, давайте разделим его на \((x - 1)\) с использованием синтетического деления или деления с остатком: \[ \begin{array}{cccccccc} & & 1 & -5 & 8 & -5 & 1 \\ \hline 1 & \big| & 1 & -4 & 4 & -1 & 0 \\ & & & 1 & -3 & 1 & 0 \\ \hline & & 1 & -3 & 1 & 0 & \\ \end{array} \] Результат деления - это \(x^3 - 3x^2 + 1\). Теперь у нас есть уравнение \(x^3 - 3x^2 + 1 = 0\). Это кубическое уравнение, которое можно попробовать решить дополнительными методами, такими как метод Кардано или метод Ньютона, или воспользоваться численными методами. К сожалению, в данном случае уравнение имеет комплексные корни, и их можно найти численно, используя компьютерное программное обеспечение или калькулятор. Как результат, корнем исходного уравнения \(x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0\) является \(x = 1\), а остальные корни могут быть найдены численно с помощью специализированного программного обеспечения.