Question

Найдите сумму всех коэффициентов в стандартном виде многочлена x*(x+1)*(x+2)^2*(x-4)^4

Answer 1

Сумма коэффициентов многочлена равна его значению в точке 1. Действительно, пусть дан многочлен $ax^{n}+bx^{n-1}+...+c$; Подставляя x=1 получим сумму коэффициентов. Поэтому сумма коэффициентов многочлена x(x+1)(x+2)²(x-4)⁴ равна 1*(1+1)(1+2)²(1-4)⁴ = 2*9*81=1458

Answer 2

Чтобы найти сумму всех коэффициентов в стандартном виде многочлена: \[P(x) = x(x + 1)(x + 2)^2(x - 4)^4\] Мы можем воспользоваться формулой для суммы коэффициентов в многочлене. Сумма коэффициентов в многочлене равна значению многочлена в \(x = 1\), так как каждый коэффициент соответствует степени \(x\) в многочлене. Подставляя \(x = 1\) в данное уравнение, мы получаем: \[P(1) = 1(1 + 1)(1 + 2)^2(1 - 4)^4\] Теперь вычислим этот многочлен: \[P(1) = 1(2)(3^2)(-3)^4\] \[P(1) = 1 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 81\] \[P(1) = 1458\] Итак, сумма всех коэффициентов в данном многочлене равна 1458.