Question

В арифметичній прогресії 6 членів. Перший, третій, шостий члени утворюють геометричну прогресію. Знайдіть усі 6 членів арифметичної прогресії, якщо перший її член дорівнює 16.

Answer 1

a1=b1=16

a3=16+2d

a6=16+5d

a3/a1=a6/a3=q

a3^2=a1*a6

(16+2d)^2=16(16+5d)

256+64d+4d^2=256+80d

4d^2-16d=0

4d(d-4)=0

d=4

16;20;24;28;32;36

24/16=3/2

36/24=3/2

Answer 2

Позначимо перший член арифметичної прогресії як a, а різницю прогресії як d. Тоді арифметична прогресія буде мати вигляд:
a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d.

За умовою, перший, третій і шостий члени утворюють геометричну прогресію. Позначимо перший член геометричної прогресії як b, а знаменник прогресії як q. Тоді геометрична прогресія буде мати вигляд:
b, bq, bq^5.

За умовою, перший член геометричної прогресії дорівнює першому члену арифметичної прогресії:
b = a.

З рівняння геометричної прогресії також випливає, що третій член арифметичної прогресії дорівнює другому члену геометричної прогресії:
a + 2d = bq.

Також з рівняння геометричної прогресії випливає, що шостий член арифметичної прогресії дорівнює третьому члену геометричної прогресії:
a + 5d = bq^5.

Отримали систему рівнянь:
b = a,
a + 2d = bq,
a + 5d = bq^5.

Підставимо перше рівняння в друге і третє рівняння:
a + 2d = aq,
a + 5d = aq^5.

Розв'яжемо друге рівняння відносно a:
a = aq^5 - 5d.

Підставимо в перше рівняння:
b = a = (aq^5 - 5d).

Прирівняємо останні два рівняння:
(aq^5 - 5d) = aq.

Розкриємо дужки:
aq^5 - 5d = aq.

Помножимо все на q:
aq^6 - 5qd = aq^2.

Помітимо, що знаменник a можна скасувати:
q^6 - 5qd = q^2.

Перепишемо рівняння:
q^6 - 5qd - q^2 = 0.

Знайдемо корені цього рівняння методом декомпозиції квадратного трьохчлена:
(q^4 - q)(q^2 + q) - q^2 = 0.

Розкриємо дужки:
q^6 + q^5 - q^2 - q^3 - q^2 = 0.

Об'єднаємо подібні ділення:
q^6 + q^5 - 2q^2 - q^3 = 0.

Використаємо факторизацію:
q^2(q^4 + q^3 - 2) = 0.

Отримали два рівняння:
q^2 = 0 і q^4 + q^3 - 2 = 0.

Перше рівняння має корінь q=0. Підставимо в друге рівняння:
(0)^4 + (0)^3 - 2 = 0 - 2 = -2.

Отримали рішення q = 0 і q = -2.

Якщо q = 0, то арифметична прогресія буде мати вигляд:
a, a, a, a, a, a.

Якщо q = -2, то арифметична прогресія буде мати вигляд:
a, a-2d, a-4d, a-6d, a-8d, a-10d.

Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює 16, то можна підставити ці значення в обидва вигляди арифметичної прогресії і знайти всі 6 членів:

Для q = 0:
16, 16, 16, 16, 16, 16.

Для q = -2:
16, 16 + 2d, 16 + 4d, 16 + 6d, 16 + 8d, 16 + 10d.

Тепер потрібно знайти значення змінних d і a. Для цього можна використати систему рівнянь з попередньої аналізованої системи:
a + 2d = bq,
a + 5d = bq^5.

Для q = 0:
a + 2d = 0,
a + 5d = 0.
Отримали рішення a = 0 і d - будь-яке число. Застосовуючи довільне значення d, можна знайти всі 6 членів арифметичної прогресії.

Для q = -2:
a + 2d = 2a,
a + 5d = 32a.

Замінимо 2a у першому рівнянні виразом a + 2d:
a + 2d = a,
a + 5d = 32a.

Отримали систему:
2d = 0,
4a + 3d = 0.

З першого рівняння випливає, що d = 0. Підставимо це значення в друге рівняння:
4a + 3(0) = 0,
4a = 0,
a = 0.

Отримали рішення a = 0 і d = 0. Підставивши ці значення в обидва вигляди арифметичної прогресії, отримаємо:
0, 0, 0, 0, 0, 0.

Таким чином, всі 6 членів арифметичної прогресії дорівнюють 0.