Question

Найдите, при каких значениях числа a, система уравнений x^2+y^2=9; x+y=a, имеет два решения.​

Answer 1

Имеем систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{x^{2} + y^{2}=9} \atop {x +y = a \ \ \ }} \right.$

где $x^{2} + y^{2} = 3^{2}$ — уравнение окружности с центром $(0; \ 0)$ и радиусом $3$, $x + y = a$ — прямая, проходящая через $\text{II}$ и $\text{IV}$ координатные четверти под углом $45^{\circ}$ вдоль положительного направления оси абсцисс.

Система имеет три варианта решения:

1) иметь два решения (см. вложение);

2) иметь одно решение (см. вложение);

3) не иметь решений (см. вложение);

Нам подойдет первый вариант. Решим данную систему уравнений методом подстановки.

$\displaystyle \left \{ {{x^{2} + y^{2}=9} \atop {x = a - y \ \ \ }} \right.$

$(a - y)^{2} + y^{2} = 9\\a^{2} - 2ay + y^{2} + y^{2} = 9\\2y^{2} - 2ay + a^{2} - 9 = 0$

$D = (-2a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} - 9) = 4a^{2} - 8a^{2} + 72 = 72 - 4a^{2}$

Данное уравнение будет иметь два корня, если $D>0$, то есть если $72 - 4a^{2} > 0$

$4a^{2} < 72\\a^{2} < 18$

$a^{2} = 18$

$a = \pm3\sqrt{2}$

$a \in (-3\sqrt{2}; \ 3\sqrt{2})$

Именно при таких значениях параметра $a$ данная система уравнений будет иметь два решения.

Ответ: $a \in (-3\sqrt{2}; \ 3\sqrt{2})$

Answer 2

Для того чтобы найти значения числа a, при которых система уравнений x^2 + y^2 = 9 и x + y = a имеет два решения, мы можем использовать метод подстановки. #### Решение: 1. Заменим второе уравнение в системе x на a - y: - x + y = a - a - y + y = a - a = a 2. Подставим это значение x в первое уравнение: - x^2 + y^2 = 9 - (a - y)^2 + y^2 = 9 - a^2 - 2ay + y^2 + y^2 = 9 - a^2 - 2ay + 2y^2 = 9 3. Распишем это уравнение в виде квадратного трехчлена: - 2y^2 - 2ay + a^2 - 9 = 0 4. Чтобы уравнение имело два решения, дискриминант должен быть больше нуля: - D = (-2a)^2 - 4 * 2 * (a^2 - 9) - D = 4a^2 - 8a^2 + 72 - D = -4a^2 + 72 5. Решим неравенство D > 0: - -4a^2 + 72 > 0 - 4a^2 < 72 - a^2 < 18 - -√18 < a < √18 **Ответ:** Система уравнений x^2 + y^2 = 9 и x + y = a имеет два решения при значениях числа a, удовлетворяющих неравенству -√18 < a < √18.