Question

Найдите наибольшее значение выражения: 3sinα−cosα

Answer 1

Ответ: (на картинке)

Объяснение:

искать ответ можно разными способами...

удобнее всего использовать производную

(но, возможно, эту тему еще не проходили...

не указано-для какого класса задание)))

f ' (x) = 3cos(x)+sin(x)

f ' (x) = 0 условие для нахождения экстремума...

3cos(x)+sin(x)=0

однородное уравнение первой степени:

делим обе части равенства на cos(x)≠0

tg(x) = -3 ---> x = -arctg(3) + πk, k∈Z

если tg(x)=-3 --> sin(x) = -3cos(x)

(-3cos(x))² + cos²(x) = 1

cos²(x) = 0.1 --> 1) cos(x) = √0.1 или 2) cos(x) = -√0.1

тогда 1) sin(x) = -3√0.1 или 2) sin(x) = 3√0.1

значения функции:

1) 3sin(x)-cos(x) = -9√0.1-√0.1 = -10√0.1 = -√10 ≈≈ -3.16 это minimum

2) 3sin(x)-cos(x) = 9√0.1+√0.1 = 10√0.1 = √10 ≈≈ 3.16 это maximum

Answer 2

Ответ:

√10

Пошаговое решение:

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения выражения 3sinα - cosα, мы можем воспользоваться свойством синуса и косинуса.

Согласно определению синуса и косинуса, значения этих функций лежат в интервале [-1, 1]. Также мы знаем, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1: sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.

Мы можем записать выражение 3sinα - cosα в виде:

3sinα - cosα = sqrt(3^2 + (-1)^2) * (sinα * sqrt(3)/sqrt(3) - cosα/ sqrt(3))

Заметим, что sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(10), а sinα * sqrt(3)/sqrt(3) - cosα/ sqrt(3) = sin(alpha + pi/6).

Таким образом, мы можем переписать выражение:

3sinα - cosα = sqrt(10) * sin(alpha + pi/6)

Зная, что синус принимает максимальное значение 1, мы можем заключить, что наибольшее значение данного выражения равно sqrt(10).