Question

Докажите что при любом натуральном  n значение выражения:  (3n+2)2-(3n+1)2 кратно 3

Answer 1

(3n+2)^2-(3n+1)^2=(9n^2+12n+4)-(9n^2+6n+1)=6n+3

Оба слагаемых делятся на 3, тогда и сумма делится на 3.

Answer 2

Для начала раскроем скобки в данном выражении: (3n + 2)² - (3n + 1)² (3n + 2)² = (3n + 2)(3n + 2) = 9n² + 6n + 6n + 4 = 9n² + 12n + 4 (3n + 1)² = (3n + 1)(3n + 1) = 9n² + 3n + 3n + 1 = 9n² + 6n + 1 Вычтем из первого выражения второе: (9n² + 12n + 4) - (9n² + 6n + 1) = 9n² + 12n + 4 - 9n² - 6n - 1 = 6n + 3 Теперь докажем, что получившееся выражение кратно 3. Для этого докажем, что (6n + 3) делится нацело на 3. Для этого нужно показать, что (6n + 3) может быть представлено в виде 3k, где k - некоторое целое число. Поделим (6n + 3) на 3: (6n + 3) / 3 = 2n + 1 (6n + 3) получилось в виде 3k + 1, где k = 2n. Таким образом, (6n + 3) является кратным 3 при любом натуральном n. Итак, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения (3n + 2)² - (3n + 1)² кратно 3.