Question

Скільки точок екстремуму має функція y=2x-√x

Answer 1

У=2х-√х

1)х€[0;+оо)

2)у'=(2х-√х)'=2-1/(2√х)

3)у'=0
2-1/(2√х)=0
х≠0

3)у'>0
2-1/(2√х)>0
(4√х-1)/(2√х)>0
{2√х>0;х>0
{4√х-1>0;√х>1/4;х>1/16
____0_____1/16_____
х>1/16 функция возрастает

4)у'<0
(4√х-1)/(2√х)<0
{2√х>0;х>0
{4√х-1<0;4√х<1;√х<1/4;х<1/16

______0____1/16_____
х€(1;1/16)
функция убывает

4)____0__-___1/16_+_____

х=1/6 точка минимума
ответ один точки экс.

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції \(y = 2x - \sqrt{x}\), потрібно взяти похідну та знайти значення \(x\), при якому похідна дорівнює нулю (або не існує). 1. Знайдемо похідну функції \(y\) по \(x\): \[y' = \frac{d}{dx} (2x - \sqrt{x}) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}\] 2. Знайдемо точки, в яких \(y' = 0\): \[2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0\] \[2\sqrt{x} = 1\] \[\sqrt{x} = \frac{1}{2}\] \[x = \frac{1}{4}\] Зауважте, що \(x\) не може бути від'ємним, оскільки підкореневий вираз не може бути від'ємним. 3. Далі, знайдемо значення другої похідної \(y''\) та оцінимо її в точці \(x = \frac{1}{4}\): \[y'' = \frac{d^2}{dx^2} (2x - \sqrt{x}) = \frac{d}{dx} (2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}) = \frac{1}{4x^\frac{3}{2}}\] \[y''\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^\frac{3}{2}} = 4\] 4. Оскільки \(y''\left(\frac{1}{4}\right) > 0\), то ми маємо мінімум у точці \(x = \frac{1}{4}\). 5. Знайдемо відповідне значення \(y\) в цій точці: \[y = 2x - \sqrt{x} = 2 \cdot \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\] Отже, у точці \(x = \frac{1}{4}\) функція \(y = 2x - \sqrt{x}\) має мінімум, який дорівнює \(y = 0\).