Question

Скільки точок екстремуму має функція не f(x)=x^4/4-2x/3+8 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Одна точка минимума.

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції, спочатку треба знайти її похідну та розв'язати рівняння похідної дорівнює нулю. Зараз ми працюємо з функцією $f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{2x}{3} + 8$.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^4}{4} - \frac{2x}{3} + 8\right)$.

   Використовуючи правила похідної, отримуємо: $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{2}{3} \cdot 1$.

   Спростимо вираз: $f'(x) = x^3 - \frac{2}{3}$.

2. Тепер знайдемо точки, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю: $x^3 - \frac{2}{3} = 0$.

   Розв'яжемо це рівняння для $x$: $x^3 = \frac{2}{3}$.

   Щоб знайти значення $x$, піднесемо обидві сторони рівняння до куба: $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$.

   Отже, єдине значення $x$, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю, це $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$.

3. Зараз можемо визначити типи екстремумів в цій точці. Для цього перевіримо знак похідної в околиці точки $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$:

   • Якщо $f'(x) > 0$ на деякому інтервалі навколо $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$, то в точці $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$ є локальний мінімум.
   • Якщо $f'(x) < 0$ на деякому інтервалі навколо $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$, то в точці $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$ є локальний максимум.

Для визначення типу екстремуму потрібно аналізувати знаки похідної в околиці точки $x = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}$, що вказано в пункті 3.