Question

Найдите числа a, b, c если (a+2b):(b+2c):c+2a)=1:2:3

Answer 1

Ответ:

(a+2b):(b+2c):(c+2a)=1:2:3

b+2c=2(a+2b) , c+2a=3(a+2b), 2(c+2a)=3(b+2c)

b+2c=2a+4b, c+2a=3a+6b, 2c+4a=3b+6c

-2a-3b+2c=0,-a-6b+c=0, 4a-3b-4c=0

(-2a-3b+2c)+(2a+12b-2c)=0, 4a-3b-4c=0

9b=0, 4a-3b-4c=0

b=0, 4a-4c=0,

b=0,a-c=0,

a=c, b=0, a≠0

==============

dlja: a=1,b=0,c=1 : 1:2:3

dlja: a=5,b=0,c=5: 5:10:15=1:2:3

itd.

Объяснение:

Answer 2

Предположим, что a, b, c - числа, удовлетворяющие данному условию.

Тогда из данного нам равенства: (a + 2b) : (b + 2c) : c + 2a = 1 : 2 : 3

По определению пропорции, это равносильно следующему системе уравнений: (a + 2b) / (b + 2c) = 1/2 (b + 2c) / c + 2a = 2/3

Решим первое уравнение относительно a: 2(a + 2b) = b + 2c 2a + 4b = b + 2c a = (2c - 3b) / 2

Подставим значение a во второе уравнение: (b + 2c) / c + 2((2c - 3b) / 2) = 2/3 (b + 2c) / c + 2c - 3b = 2/3 3(b + 2c) + 6c - 9b = 2c 3b + 6c + 6c = 2c + 9b 3b - 7c = 7b 10b = 13c b = (13c) / 10

Таким образом, мы получили выражения для a и b через c: a = (2c - 3b) / 2 b = (13c) / 10

Теперь подставим значения a и b в первое уравнение: (a + 2b) / (b + 2c) = 1/2 ((2c - 3b) / 2 + 2((13c) / 10)) / ((13c) / 10 + 2c) = 1/2

Упростим числитель: (2c - 3((13c) / 10)) / 2 + ((52c) / 10) = 1/2

Далее, упростим выражение:

2c - (39c / 10) + (52c / 10) = (13c + 4(2c)) / 10 20c - 39c + 52c = 13c + 8c (33c) / 10 = 21c / 10

Таким образом, получаем, что 33c = 21c, отсюда последует, что c = 0.

Подставим найденное значение c в выражения для a и b: a = (2c - 3b) / 2 = (2(0) - 3b) / 2 = 0 b = (13c) / 10 = (13(0)) / 10 = 0

Таким образом, получаем, что a = 0, b = 0, c = 0.

Итак, числа a, b, c, при которых выполняется (a + 2b) : (b + 2c) : c + 2a = 1 : 2 : 3, равны 0.