Question

Материальная точка движется по закону x(t) = 1/3 t^3 + 3t^2 - 10t Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Answer 1

v=x'=t²+6t-10, v(5)=25+30-10=45 м/с,

а=v'=2t+6, a(5)=16 м/с²

Answer 2

Для определения скорости и ускорения материальной точки, двигающейся по закону \(x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 10t\), необходимо найти первую и вторую производные этой функции по времени \(t\).

1. Начнем с нахождения производной \(x(t)\) по времени \(t\), чтобы найти скорость: \[x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 10t\]

Производная функции \(x(t)\) по времени \(t\) будет скоростью \(v(t)\): \[v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 10t)\]

Дифференцируем по отдельным частям выражения: \[v(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^3) - \frac{d}{dt}(3t^2) - \frac{d}{dt}(10t)\] \[v(t) = t^2 - 6t - 10\]

Теперь, чтобы найти скорость в момент времени \(t = 5\), подставим \(t = 5\) в выражение для скорости: \[v(5) = 5^2 - 6 * 5 - 10\] \[v(5) = 25 - 30 - 10\] \[v(5) = -15\]

Следовательно, скорость в момент времени \(t = 5\) секунд составляет \(-15\) м/с.

2. Теперь, чтобы найти ускорение, возьмем производную скорости \(v(t)\) по времени \(t\):

\[a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t - 10)\] \[a(t) = \frac{d}{dt}(t^2) - \frac{d}{dt}(6t) - \frac{d}{dt}(10)\] \[a(t) = 2t - 6\]

Теперь найдем ускорение в момент времени \(t = 5\) секунд, подставив \(t = 5\) в уравнение ускорения: \[a(5) = 2 * 5 - 6\] \[a(5) = 10 - 6\] \[a(5) = 4\]

Таким образом, ускорение в момент времени \(t = 5\) секунд составляет \(4\) м/с².