Question

Ctgx+tg2x+1=4cos^2x+(sin3x/sinx)-2cos2x помогите решить с пояснениями

Answer 1

я написал решение на двух листках ===>>

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами тригонометрических функций и их периодичностью.

1. Приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Заменим tg(x) на sin(x) / cos(x) и ctg(x) на cos(x) / sin(x):

ctg(x) + tg(2x) + 1 = 4cos^2(x) + (sin(3x) / sin(x)) - 2cos(2x)

cos(x) / sin(x) + (sin(2x) / cos(2x)) + 1 = 4cos^2(x) + (sin(3x) / sin(x)) - 2cos(2x)

2. Упростим выражение. Выразим синус из синуса и косинуса:

(cos^2(x) / sin(x)) + (2sin(x)cos(x)) / (2cos^2(x) - 1) + 1 = 4cos^2(x) + (3sin(x)cos^2(x) - 3cos(x)sin^2(x)) / sin(x) - 2(cos^2(x) - sin^2(x))

cos^2(x) / sin(x) + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) + 1 = 4cos^2(x) + (3sin(x)cos^2(x) - 3cos(x)sin^2(x)) / sin(x) - 2cos^2(x) + 2sin^2(x)

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

cos^2(x) / sin(x) + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) + 1 - 4cos^2(x) - (3sin(x)cos^2(x) - 3cos(x)sin^2(x)) / sin(x) + 2cos^2(x) - 2sin^2(x) = 0

4cos^2(x) - 3sin(x)cos^2(x) + 3cos(x)sin^2(x) - cos^2(x)sin(x) + sin^2(x)cos(x) + sin(x)cos(x) - sin(x) + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) - 1 = 0

3sin(x)cos^2(x) - sin(x)cos^2(x) - cos^2(x)sin(x) + 4cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) + sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) - sin(x) + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) - 1 = 0

3sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^2(x) - cos^2(x)sin(x) + 4cos^2(x) + 5sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) - sin(x) - 1 + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) = 0

3sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^2(x) - cos^2(x)sin(x) + 5sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) - sin(x) + 4cos^2(x) + sin(x)cos(x) / (cos^2(x) - 1) - 1 = 0

sin(x)(3cos^2(x) + cos^2(x) - cos^2(x) + 5cos(x) - 2sin(x) - 1) + cos(x)(4cos^2(x) + sin(x) / (cos^2(x) - 1)) = 0

sin(x)(4cos^2(x) + 5cos(x) - 2sin(x) - 1) + cos(x)(4cos^2(x) + sin(x) / (cos^2(x) - 1)) = 0

3. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

4cos^2(x)sin(x) + 5cos(x)sin(x) - 2sin^2(x)sin(x) - sin(x) + 4cos^2(x)cos(x) + (sin^2(x)cos(x)) / (cos^2(x) - 1) = 0

4cos^2(x)sin(x) + 5cos(x)sin(x) - 2sin^3(x) - sin(x) + 4cos^2(x)cos(x) + (sin^2(x)cos(x)) / (cos^2(x) - 1) = 0

12cos^2(x)sin(x) + 15cos(x)sin(x) - 6sin^3(x) - 3sin(x) + 12cos^2(x)cos(x) + 3sin^2(x)cos(x) = 0

4(3cos^2(x)sin(x) + 3cos(x)sin(x) - sin^3(x) - sin(x) + 3cos^2(x)cos(x) + sin^2(x)cos(x)) = 0

4(sin(x)(3cos(x) - sin^2(x) - 1) + cos(x)(3cos^2(x) + sin^2(x))) = 0

4(sin(x)(3cos(x) - (sin^2(x) + 1)) + cos(x)(3cos^2(x) + sin^2(x))) = 0

4(sin(x)(3cos(x) - (1 - cos^2(x))) + cos(x)(3cos^2(x) + sin^2(x))) = 0

4(sin(x)(3cos(x) + cos^2(x) - 1) + cos(x)(3cos^2(x) + sin^2(x))) = 0

4(sin(x)(cos^2(x) + 3cos(x) - 1) + cos(x)(3cos^2(x) + sin^2(x))) = 0

5. Решим полученное уравнение:

sin(x) = 0 или (cos^2(x) + 3cos(x) - 1) = 0

Если sin(x) = 0, то x принимает значения x = 0, π, 2π, ...

Если (cos^2(x) + 3cos(x) - 1) = 0, то это уравнение квадратное относительно cos(x). Решим его:

cos^2(x) + 3cos(x) - 1 = 0

Для решения квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 9 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13

Так как дискриминант D > 0, то уравнение имеет два действительных корня:

cos(x) = (-3 +- sqrt(13)) / 2

Таким образом, мы получаем два уравнения:

cos(x) = (-3 + sqrt(13)) / 2 и cos(x) = (-3 - sqrt(13)) / 2

Найдем значения x для каждого уравнения:

1) cos(x) = (-3 + sqrt(13)) / 2

Так как косинус является периодической функцией, то корни могут быть найдены в промежутке [0, 2π]. Решениями данного уравнения будут:

x ≈ 2.551, x ≈ 3.931

2) cos(x) = (-3 - sqrt(13)) / 2

Решениями данного уравнения также будут в промежутке [0, 2π]:

x ≈ 1.292, x ≈ 4.390

Таким образом, общими решениями данного уравнения являются: x = 0, π, 2π, 2.551, 3.931, 1.292, 4.390.