Question

Решить:1)ctgx+tg2x+1=4cos^2 x+ (sin3x/sinx)-2cos2x

Answer 1

(ctgx-tgx+2tgx)/(1-tg^2 x) +1=4cos^2 x + 3 -4sin^2 x- 2cos2x
cosx/(sinx*cos2x)=4cos^2 x
sin4x=0
Ответ: (пи*k)/4, k принадлежит Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

1) Уравнение: ctgx + tg2x + 1 = 4cos^2(x) + (sin3x/sinx) - 2cos2x

2) Давайте приведем уравнение к более удобному виду. Заметим, что ctgx = 1/tgx и tg2x = sin2x/cos2x.

Теперь уравнение принимает следующий вид: 1/tgx + sin2x/cos2x + 1 = 4cos^2(x) + (sin3x/sinx) - 2cos2x

3) Умножим обе части уравнения на sinx*cos2x. Получим: sinx*cos2x/tgx + sin2x + sinx*cos2x = 4cos^2(x)*sinx*cos2x + sin3x*cos2x - 2cos2x*sinx*cos2x

4) Приведем подобные слагаемые. Вынесем общие множители и переставим слагаемые на одну сторону уравнения: sinx*cos2x*(1/tgx + 4cos^2(x) - sin3x - 2cos2x) = sin2x - sinx*cos2x

5) Используем тригонометрические тождества для упрощения уравнения: sinx*cos2x*(1/tgx + 4(1 - sin^2(x)) - 3sinx + 2(1 - 2sin^2(x))) = sin2x - sinx*cos2x

Раскроем скобки: sinx*cos2x*(1/tgx + 4 - 4sin^2(x) - 3sinx + 2 - 4sin^2(x)) = sin2x - sinx*cos2x

Упростим: sinx*cos2x*(1/tgx - 8sin^2(x) - 3sinx - 2) = sin2x - sinx*cos2x

6) Теперь приведем уравнение к одной стороне и вынесем общий множитель sinx*cos2x: sinx*cos2x*(1/tgx - 8sin^2(x) - 3sinx - 2 - 1) + sinx*cos2x - sin2x = 0

7) Упростим: sinx*cos2x*(1/tgx - 8sin^2(x) - 3sinx - 3) + sinx*cos2x - sin2x = 0

8) Раскроем скобки: sinx*cos2x/tgx - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - sinx*cos2x + sinx*cos2x - sin2x = 0

9) Упростим: sinx*cos2x/tgx - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - sin2x = 0

10) Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: sinx*cos2x/tgx - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - sin2x = 0

11) Используем тригонометрические тождества для упрощения уравнения: sinx*cos2x/tgx - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - sin2x = 0

Заметим, что sin2x = 2sinx*cosx. Подставим это значение: sinx*cos2x/tgx - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - 2sinx*cosx = 0

12) Объединим подобные слагаемые: (sinx*cos2x - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x) - 2sinx*cosx = 0

13) Упростим: sinx*cos2x - 8sin^3(x)*cos2x - 3sin^2(x)*cos2x - 3sinx*cos2x - 2sinx*cosx = 0

14) Факторизуем выражение: sinx*(cos2x - 8sin^2(x)*cos2x - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx) = 0

15) Для того чтобы уравнение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю: sinx = 0 или (cos2x - 8sin^2(x)*cos2x - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx) = 0

16) Решим первое уравнение sinx = 0: x = k*pi, где k - целое число

17) Решим второе уравнение: cos2x - 8sin^2(x)*cos2x - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Подставим sin2x = 2sinx*cosx и упростим: cos2x - 8(1 - cos^2(x))*cos2x - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Упростим: cos2x - 8cos2x + 8cos^3(x) - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Подставим cos^2(x) = 1 - sin^2(x): cos2x - 8cos2x + 8(1 - sin^2(x))*cos(x) - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Упростим: cos2x - 8cos2x + 8cos(x) - 8sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Раскроем скобки: cos2x - 8cos2x + 8cos(x) - 8sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x - 3*cos2x - 2*cosx = 0

Упростим: -4cos2x - 4*cos(x) - 8sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x = 0

Объединим подобные слагаемые: -4cos2x - 4*cos(x) - 8sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x = 0

Факторизуем выражение: -cos2x - cos(x) - 2sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x = 0

18) Найдем решение уравнения -cos2x - cos(x) - 2sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x = 0 численными методами или используя компьютерную программу.

Таким образом, решение данного уравнения состоит из двух частей: 1) x = k*pi, где k - целое число. 2) Решение второго уравнения -cos2x - cos(x) - 2sin^2(x)*cos(x) - 3sin(x)*cos2x = 0 найдется численными методами или с использованием компьютерной программы.