Question

Знайти критичні точки функції y=(x+4)^(x-6)^ D(y)=RКожна дужка підноситься до квадрату

Answer 1

$y(x)=(x+4)^2*(x-6)^2=[(x+4)*(x-6)]^2=\\\\ y'(x)=([(x+4)*(x-6)]^2)'=\\\\ =2*[(x+4)*(x-6)]^{2-1}*[(x+4)*(x-6)]'=\\\\ =2(x+4)(x-6)*[(x+4)'*(x-6)+(x+4)*(x-6)']=\\\\ =2(x+4)(x-6)*[1*(x-6)+(x+4)*1]=\\\\ =2(x+4)(x-6)*[2x-2]=\\\\ =4(x+4)(x-6)(x-1)\\\\\\\\\\ y'(x)=0\\\\ 4(x+4)(x-6)(x-1)=0\\\\ x=-4\ \ or\ \ x=6\ \ or\ \ x=1$

Ответ:  $-4;\ 1;\ 6$

Answer 2

Для знаходження критичних точок необхідно знайти похідну функції і прирівняти її до нуля.

Спочатку знайдемо похідну функції y = (x+4)^(x-6). Для цього використаємо правило диференціювання функції, підноситься до степеня.

До цього правила необхідно ввести додаткову умову, що показник степеня є функцією від x, інакше його необхідно вважати за константу, що веде до інших правил диференціювання.

d(y) / dx = (x+4)^(x-6) * [d((x+4)^(x-6)) / d(x)]

Далі знайдемо похідну показнику степеня:

d((x+4)^(x-6)) / d(x) = (x-6) * (x+4)^(x-6-1) + (x+4)^(x-6) * [d(x-6)/dx]

Тепер знайдемо похідну функції y = (x+4)^(x-6):

d(y)/dx = (x+4)^(x-6) * [(x-6) * (x+4)^(x-7) + (x+4)^(x-6) * 1]

Згрупуємо добуток:

d(y)/dx = (x+4)^(x-6) * [(x-6) * (x+4)^(x-7) + (x+4)^(x-6)]

Прирівняємо похідну до нуля та знайдемо значення x:

(x+4)^(x-6) * [(x-6) * (x+4)^(x-7) + (x+4)^(x-6)] = 0

Для цього добуток складається з двох множників, один з яких завжди не дорівнює нулю (бо підносимо до степеня), тому задачу можна перетворити на: (x-6) * (x+4)^(x-7) + (x+4)^(x-6) = 0

У даному випадку можна знайти критичні точки аналітично, але оскільки це велике рівняння, оптимальным варіантом є розв'язати його чисельно за допомогою комп'ютера або калькулятора з функцією пошуку коренів.