Question

Упростить 2/(√5+√3) + 2/(√6+√4)+...+ 2/(√41+√39)

Answer 1

$\frac{2}{\sqrt5+\sqrt3} + \frac{2}{\sqrt6+\sqrt4} + \frac{2}{\sqrt7+\sqrt5} +...+ \frac{2}{\sqrt{40}+\sqrt{39}} + \frac{2}{\sqrt{41}+\sqrt{39}} =\\\\= \frac{2(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3} + \frac{2(\sqrt6-\sqrt4)}{6-4} + \frac{2(\sqrt7-\sqrt5)}{7-5} +...+ \frac{2(\sqrt{40}-\sqrt{48})}{40-38} + \frac{2(\sqrt{41}-\sqrt{39})}{41-39}=\\\\=\sqrt5-\sqrt3+\sqrt6-\sqrt4+\sqrt7-\sqrt5+\sqrt8-\sqrt6+\sqrt9-\sqrt7+$

$+\sqrt{10}-\sqrt8+...+\sqrt{38}-\sqrt{36}+\sqrt{39}-\sqrt{37}+\sqrt{40}-\sqrt{38}+$

  $+\sqrt{41}-\sqrt{39}=$  $\sqrt{41}+\sqrt{40}-\sqrt{4}-\sqrt3$  

Answer 2

Чтобы упростить выражение `2/(√5+√3) + 2/(√6+√4) + ... + 2/(√41+√39)`, мы можем использовать метод рационализации знаменателей.

1. Начнем с первого слагаемого `2/(√5+√3)`. Умножим и разделим его на `√5-√3` (сопряжение знаменателя): ``` 2/(√5+√3) * (√5-√3)/(√5-√3) = 2(√5-√3)/(5-3) = (√5-√3) ```

2. Перейдем ко второму слагаемому `2/(√6+√4)`. Умножим и разделим его на `√6-√4`: ``` 2/(√6+√4) * (√6-√4)/(√6-√4) = 2(√6-√4)/(6-4) = (√6-√4) ```

3. Продолжим этот процесс для всех оставшихся слагаемых.

- `2/(√7+√5)` станет `√7-√5` - `2/(√8+√6)` станет `√8-√6` - ... - `2/(√41+√39)` станет `√41-√39`

4. Сложим все полученные результаты: ``` (√5-√3) + (√6-√4) + (√7-√5) + (√8-√6) + ... + (√41-√39) ```

5. Заметим, что множители `√5, √6, √7, ... , √41` и `√3, √4, √5, ... , √39` являются последовательными числами вида `√(n+2)` и `√n`.

Мы можем обобщить это выражение: ``` (√(n+2)-√n) ```

Где `n` принимает значения от 3 до 39.

Таким образом, упрощенное выражение `2/(√5+√3) + 2/(√6+√4) + ... + 2/(√41+√39)` равно: ``` (√5-√3) + (√6-√4) + (√7-√5) + (√8-√6) + ... + (√41-√39) ```

Или, обобщенно: ``` (√(n+2)-√n) ```

Где `n` принимает значения от 3 до 39.