Question

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в которых повторяется хотя бы одна цифра?​

Answer 1

Пусть A - количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5. Пусть X - количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и в которых повторяется хотя бы одна цифра. Пусть Y - количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и в которых все цифры разные

Тогда $X = A - Y$. Осталось найти $A , Y$. $A = 5^4 , Y = 5 !$. Значит $X = 5^4 - 5 ! = 5(5^3 - 4 !) = 5(125 - 24) = 5*101 = 5050$

Answer 2

Чтобы определить, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в которых повторяется хотя бы одна цифра, мы можем рассмотреть несколько случаев.

Четырехзначные числа с повторяющимися цифрами

В этом случае, все цифры числа должны быть различными. Мы можем выбрать первую цифру из пяти возможных вариантов (1, 2, 3, 4, 5), вторую цифру из оставшихся четырех вариантов, третью цифру из трех вариантов и четвертую цифру из двух вариантов. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с повторяющимися цифрами равно:

5 * 4 * 3 * 2 = 120

Четырехзначные числа с одной повторяющейся цифрой

В этом случае, одна из цифр должна повторяться, а остальные три должны быть различными. Мы можем выбрать повторяющуюся цифру из пяти возможных вариантов, а затем выбрать три различные цифры из оставшихся четырех вариантов. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с одной повторяющейся цифрой равно:

5 * (4 * 3 * 2) = 120

Четырехзначные числа с двумя повторяющимися цифрами

В этом случае, две из цифр должны повторяться, а остальные две должны быть различными. Мы можем выбрать две повторяющиеся цифры из пяти возможных вариантов, а затем выбрать две различные цифры из оставшихся четырех вариантов. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с двумя повторяющимися цифрами равно:

(5 * 4) * (3 * 2) = 120

Четырехзначные числа с тремя повторяющимися цифрами

В этом случае, три из цифр должны повторяться, а остальная одна должна быть различной. Мы можем выбрать три повторяющиеся цифры из пяти возможных вариантов, а затем выбрать одну различную цифру из оставшихся четырех вариантов. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с тремя повторяющимися цифрами равно:

(5 * 4 * 3) * 2 = 120

Четырехзначные числа с четырьмя повторяющимися цифрами

В этом случае, все цифры числа должны быть одинаковыми. Мы можем выбрать одну цифру из пяти возможных вариантов. Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с четырьмя повторяющимися цифрами равно:

5

Общее количество четырехзначных чисел с повторяющимися цифрами

Чтобы определить общее количество четырехзначных чисел с повторяющимися цифрами, мы можем сложить результаты для каждого из пяти случаев:

120 + 120 + 120 + 120 + 5 = 485

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 485 четырехзначных чисел, в которых повторяется хотя бы одна цифра.