Question

Найдите наименьшее значение функции: y=3^(x^2-6x+14)

Answer 1

Ответ:

y наиб = 243

Объяснение:

Дана функция $y={\displaystyle 3^{x^{2}-6x+14} }$

Производная функции

$y'={\displaystyle 3^{x^{2}-6x+14} \cdot ln3 \cdot (2x - 6) }$

y' = 0

${\displaystyle 3^{x^{2}-6x+14} > 0}$

ln3 > 0

2x - 6 = 0

x = 3

При х < 3 y' < 0, следовательно, функция у↓ (убывает)

При х > 3 y' > 0, следовательно, функция у↑ (возрастает)

Это значит, что х = 3 - точка минимума

$\displaystyle{ y_{min} = 3^{3^{2}-6 \cdot 3+14}= 3^{5}=243 }$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 3^(x^2 - 6x + 14), мы можем использовать некоторые методы анализа функций. Давайте рассмотрим каждый шаг по очереди.

1. Найдите вершину параболы

Функция y = 3^(x^2 - 6x + 14) имеет форму параболы, так как степень x^2 имеет положительный коэффициент. Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

В данном случае, a = 1, b = -6. Подставим значения в формулу: x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.

Таким образом, x-координата вершины параболы равна 3. Чтобы найти соответствующую y-координату, подставим x = 3 в исходную функцию: y = 3^(3^2 - 6*3 + 14) = 3^(9 - 18 + 14) = 3^5 = 243.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 243).

2. Определите направление открытия параболы

Поскольку коэффициент при x^2 положительный (a = 1 > 0), парабола открывается вверх. Это означает, что вершина параболы является наименьшим значением функции.

3. Ответ

Наименьшее значение функции y = 3^(x^2 - 6x + 14) равно 243 и достигается при x = 3.