Question

Найдите пятый член геометрической прогрессии, состоящей из восьми членов, если сумма её членов с четными номерами равна 1360 , а с нечётными 680.

Answer 1

a первый член q знаменатель нечетные члены прогрессии a+aq^2+aq^4+aq^6=680 четные члены прогрессии aq+aq^3+aq^5+aq^7=q(a+aq^2+aq^4+aq^6)=q*680=1360 => q=2 подставив в любое из уровнений найдем а=8 пятый член равен a*q^4=8*2^4=128

Answer 2

Для нахождения пятого члена геометрической прогрессии, у нас есть следующие сведения:

1. Геометрическая прогрессия состоит из восьми членов. 2. Сумма членов с четными номерами равна 1360. 3. Сумма членов с нечетными номерами равна 680.

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a," а знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами) как "q."

Сумма членов с четными номерами можно выразить следующим образом: S_четные = a + aq^2 + aq^4 + aq^6

Сумма членов с нечетными номерами можно выразить следующим образом: S_нечетные = aq + aq^3 + aq^5 + aq^7

Теперь у нас есть два уравнения:

1. S_четные = 1360 2. S_нечетные = 680

Мы можем также использовать формулу для суммы элементов геометрической прогрессии, чтобы упростить уравнения:

1. S_четные = a(1 + q^2 + q^4 + q^6) 2. S_нечетные = aq(1 + q^2 + q^4 + q^6)

Теперь мы можем делить уравнения для сумм членов с четными и нечетными номерами:

S_четные / S_нечетные = (a(1 + q^2 + q^4 + q^6)) / (aq(1 + q^2 + q^4 + q^6))

Упростим это выражение, сокращая "a" и выражение в скобках:

1/q = 1360 / 680 1/q = 2

Теперь, мы знаем, что 1/q = 2, следовательно, q = 1/2.

Теперь, мы можем найти первый член "a" геометрической прогрессии, используя уравнение для суммы членов с нечетными номерами:

S_нечетные = aq(1 + q^2 + q^4 + q^6) 680 = a(1/2)(1 + (1/2)^2 + (1/2)^4 + (1/2)^6)

Теперь, вычислим сумму в скобках:

1 + (1/2)^2 + (1/2)^4 + (1/2)^6 = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 = 64/64 + 16/64 + 4/64 + 1/64 = 85/64

Теперь, подставим это значение обратно в уравнение:

680 = a(1/2)(85/64)

Теперь, умножим обе стороны на 2/85, чтобы найти значение "a":

a = (680 * 2/85) * (64/1) a = 16

Теперь, когда у нас есть значение "a" и знаменатель "q", мы можем найти пятый член геометрической прогрессии:

Пятый член = a * q^4 Пятый член = 16 * (1/2)^4 Пятый член = 16 * (1/16) Пятый член = 1

Итак, пятый член геометрической прогрессии равен 1.