Question

Решите уравнение: |x| - |3x^2 - x| = 0

Answer 1

первый способ: (возведение в квдарат):

$|x| - |3x^2 - x| = 0; |x|=|3x^{2}-x|;$

обе части уравнения неотрицательны, подносим их к квадрату, получим уравнение равносильое данному (учтем, что $|A|^{2}=A^{2}$ и формулу квадрата двучлена $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$)

 

$x^{2}=9x^{4}-6x^{3}+x^{2}; 9x^{4}-6x^{3}=0; 3x^{4}-2x^{3}=0; x^{3} (3x-2)=0; x_1=0; x_2=\frac {2}{3}.$

ответ: 0; 2/3

второй способ: (раскрытие модуля)

заметим сначала, что х=0 - корень уравнения 

|0|-|3*0^2-0|=0 - очевидно

 

разделим теперь части уравнения на |x| (исключаем теперь случай, что х может равняться 0),получим уравнение

$1-|3x-1|=0; |3x-1|=1$ раскрывая модуль, получаем $3x-1=1;$ или $3x-1=-1;$

откуда $x_1=0; x_2=\frac {2}{3}$

обьединяя ответ: 0; 2/3

Answer 2

Для решения уравнения с модулями, мы разбиваем его на несколько случаев, исходя из разных значений аргументов модулей.

Уравнение: |x| - |3x^2 - x| = 0

Первый модуль |x| всегда неотрицательный и равен x, если x >= 0, и -x, если x < 0.

Второй модуль |3x^2 - x| требует более подробного рассмотрения. Для его упрощения, давайте сначала выразим x как общий множитель:

x(3x - 1)

Теперь мы можем анализировать разные случаи:

Случай 1: x >= 0

В этом случае оба модуля будут равны сами по себе (поскольку x >= 0), и уравнение будет выглядеть следующим образом:

x - (3x^2 - x) = 0

Решим это уравнение:

x - 3x^2 + x = 0 -3x^2 = 0

Теперь найдем x:

x = 0

Случай 2: x < 0

В этом случае модуль |x| становится -x, а модуль |3x^2 - x| становится |3x^2 - x| = -x(3x - 1) (поскольку оба множителя отрицательны). Теперь у нас есть уравнение:

-x - (-x(3x - 1)) = 0

Раскроем скобки:

-x + x(3x - 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

-x + 3x^2 - x = 0 3x^2 - 2x = 0

Теперь найдем x:

3x^2 - 2x = 0

Факторизуем:

x(3x - 2) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения x:

1) x = 0 2) 3x - 2 = 0 3x = 2 x = 2/3

Итак, у нас есть два решения:

1) x = 0 (для x >= 0) 2) x = 2/3 (для x < 0)

Поэтому уравнение |x| - |3x^2 - x| = 0 имеет два решения: x = 0 и x = 2/3.