Question

Решите неравенство (7+x)^0.5 не меньше 7-2x

Answer 1

Відповідь: [2; + нескін.)

#################'

Answer 2

$(7+x)^{0.5}\geq7-2x\\\sqrt{x+7} \geq 7-2x$

ОДЗ $x\geq -7$

Плюс ко всему заметим, что при $x\geq3.5$ правая часть положительна а левая неположительна, так что неравенство выполнится точно

возводим в квадрат и преобразуем

$x+7 \geq 49-28x+4x^2\\4x^2-29x+42\leq 0\\\\D = 841 -672 = 169 = 13^2\\x_1 = (29-13)/8 = 2\\x_2 = (29+13)/8 = 5.25$

Парабола неотрицательна на отрезке между корнями, но у нас еще и полуинтервал $x\geq3.5$ подходит поэтому ответ

$x\in[2;+\infty)$

Answer 3

Для решения неравенства \( \sqrt{7 + x} \geq 7 - 2x \), давайте следуем нескольким шагам:

1. В начале выразим корень как степень с показателем \( \frac{1}{2} \), чтобы избавиться от корня:

\[ (7 + x)^{\frac{1}{2}} \geq 7 - 2x \]

2. Теперь возводим обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом нужно учесть, что при возведении в квадрат неравенства мы можем получить дополнительные корни, которые нужно будет проверить позднее. Получим:

\[ 7 + x \geq (7 - 2x)^2 \]

3. Выполним раскрытие квадрата справа:

\[ 7 + x \geq 49 - 28x + 4x^2 \]

4. Теперь приведем все члены уравнения в стандартную квадратичную форму, расположив члены с \(x\) на одной стороне и константы на другой:

\[ 4x^2 - 28x - x + 7 - 49 \geq 0 \]

5. Упростим это уравнение:

\[ 4x^2 - 29x - 42 \geq 0 \]

6. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где у нас есть \(a = 4\), \(b = -29\) и \(c = -42\):

\[ D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-42) = 841 + 672 = 1513 \]

7. Так как дискриминант \(D > 0\), то у нас есть два корня. Мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_1 = \frac{29 + \sqrt{1513}}{8} \approx 7.282 \] \[ x_2 = \frac{29 - \sqrt{1513}}{8} \approx -5.782 \]

8. Теперь мы знаем корни уравнения, и нам нужно определить интервалы, на которых выполняется неравенство. Для этого можно построить знаки на числовой прямой:

- \( x < -5.782 \) - \( -5.782 < x < 7.282 \) - \( x > 7.282 \)

9. Теперь остается проверить знаки внутри каждого интервала. Начнем с \( x < -5.782 \):

Выберем точку слева от -5.782, например, \( x = -6 \), и подставим ее в исходное неравенство:

\[ (7 - 6)^{\frac{1}{2}} \geq 7 - 2(-6) \] \[ (1)^{\frac{1}{2}} \geq 7 + 12 \] \[ 1 \geq 19 \]

Это неравенство не выполняется.

10. Теперь проверим интервал \( -5.782 < x < 7.282 \). Выберем точку между -5.782 и 7.282, например, \( x = 0 \):

\[ (7 + 0)^{\frac{1}{2}} \geq 7 - 2(0) \] \[ (7)^{\frac{1}{2}} \geq 7 \] \[ \sqrt{7} \geq 7 \]

Это неравенство также не выполняется.

11. Наконец, проверим интервал \( x > 7.282 \). Выберем точку справа от 7.282, например, \( x = 8 \):

\[ (7 + 8)^{\frac{1}{2}} \geq 7 - 2(8) \] \[ (15)^{\frac{1}{2}} \geq 7 - 16 \] \[ \sqrt{15} \geq -9 \]

Это неравенство выполняется.

12. Итак, единственный интервал, на котором выполняется исходное неравенство, - это \( x > 7.282 \).

Таким образом, решение данного неравенства: \( x > 7.282 \).