Question

Чему равно наименьшее значение функции y=sinxcosx?

Answer 1

Ответ:

- 1/2.

Объяснение:

у = sinx • cosx = 1/2 • (2sinx • cosx) = 1/2 • sin2x.

- 1 ≤ sin2x ≤ 1

1/2 • (- 1) ≤ 1/2•sin2x ≤ 1/2•1

- 1 /2 ≤ 1/2•sin2x ≤ 1/2, т.е.

- 1/2 ≤ sinx • cosx ≤ 1/2,

- 1/2 ≤ у ≤ 1/2,

Наименьшее значение функции равно - 1/2.

Answer 2

Для определения наименьшего значения функции y = sin(x)cos(x), мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Для этого найдем производную этой функции и выясним, где она достигает своего минимального значения.

Сначала найдем производную функции y по x с использованием правила производной произведения:

y = sin(x)cos(x)

y' = (sin(x))' * cos(x) + sin(x) * (cos(x))'

Теперь вычислим производные sin(x) и cos(x):

(sin(x))' = cos(x) (cos(x))' = -sin(x)

Подставим их в выражение для производной y:

y' = cos(x) * cos(x) + sin(x) * (-sin(x))

y' = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь мы хотим найти точки, в которых производная равна нулю, так как минимальное значение функции может быть достигнуто в таких точках:

0 = cos^2(x) - sin^2(x)

Пользуясь тригонометрической тождеством cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), мы можем переписать это уравнение как:

0 = cos(2x)

Теперь найдем все значения x, при которых cos(2x) равно нулю. Это происходит, когда угол 2x равен кратным значениям π/2:

2x = π/2 + kπ, где k - целое число

Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы найти значения x:

x = (π/4 + kπ/2), где k - целое число

Таким образом, наименьшее значение функции y = sin(x)cos(x) достигается в точках, где x принимает значения (π/4 + kπ/2), где k - целое число. Минимальное значение функции будет равно:

y(min) = sin(π/4 + kπ/2)cos(π/4 + kπ/2)

Значение y(min) будет зависеть от конкретного значения k, так как оно будет меняться в зависимости от выбора целого числа k.