Question

Решить систему уравнений х^2-2ху=7 и х=3у+2

Answer 1

$\left \{ {{x^2-2xy=7} \atop {x=3y+2}} \right.$

Во втором уравнении сразу выражен х. Подставим его в первое уравнение и найдем у.

$(3y+2)^2-2(3y+2)y=7\\ (3y)^2+2*3y*2+2^2-2*3yy-2*2y=7\\ 9y^2+12y+4-6y^2-4y-7=0\\3y^2+8y-3=0\\D=8^2-4*3*(-3)=64+36=100\\y_{1}=\frac{-8+\sqrt{100} }{2*3}=\frac{-8+10}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\y_{2}=\frac{-8-\sqrt{100} }{2*3}=\frac{-8-10}{6}=\frac{-18}{6}=-3$

Подставим у₁ в уравнение x=3y+2.

$x_{1}=3*\frac{1}{3}+2=1+2=3$

Подставим у₂ в уравнение x=3y+2.

$x_{2}=3*(-3)+2=-9+2=-7$

Ответ: (3; 1/3), (-7; -3)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки. У нас есть два уравнения:

1. \(x^2 - 2xy = 7\) 2. \(x = 3y + 2\)

Сначала мы можем подставить выражение для \(x\) из второго уравнения в первое:

\((3y + 2)^2 - 2(3y + 2)y = 7\)

Теперь упростим это уравнение:

\(9y^2 + 12y + 4 - 6y^2 - 4y = 7\)

Теперь объединим подобные члены:

\(3y^2 + 8y - 3 = 0\)

Теперь давайте решим это уравнение второй степени. Мы можем использовать квадратное уравнение:

\(3y^2 + 8y - 3 = 0\)

Для нахождения решений этого уравнения, мы можем использовать дискриминант:

Дискриминант (\(D\)) для уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае \(a = 3\), \(b = 8\), и \(c = -3\), поэтому:

\(D = 8^2 - 4(3)(-3) = 64 + 36 = 100\)

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня. Теперь найдем корни с использованием квадратного уравнения:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(y = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2(3)}\)

\(y = \frac{-8 \pm 10}{6}\)

Теперь найдем два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) 2. \(y_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(x\), мы можем использовать второе уравнение \(x = 3y + 2\):

1. Для \(y = \frac{1}{3}\): \(x_1 = 3\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = 1 + 2 = 3\) 2. Для \(y = -3\): \(x_2 = 3(-3) + 2 = -9 + 2 = -7\)

Итак, у нас есть две пары решений для данной системы уравнений:

1. \(x = 3\), \(y = \frac{1}{3}\) 2. \(x = -7\), \(y = -3\)