Question

Решить: (1 + х) у dх = (у – 1) dу, если у = 1 при х = 1

Answer 1

$(1+x)y\, dx=(y-1)\, dy\\\\\int (1+x)\, dx=\int \frac{(y-1)\, dy}{y}\\\\\int (1+x)\, dx=\int (1-\frac{1}{y})\, dy\\\\x+\frac{x^2}{2}=y-ln|y|+C\\\\y(1)=1:\; \; 1+\frac{1}{2}=1-ln1+C\; ,\; \; C=\frac{1}{2}\; \; \Rightarrow \\\\x+\frac{x^2}{2}=y-ln|y|+\frac{1}{2}$

Answer 2

Это дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющих переменных. Давайте начнем с записи уравнения:

(1 + x)dy = (y - 1)dx

Теперь мы можем разделить переменные, перемещая выражения с y на одну сторону и выражения с x на другую сторону:

dy / (y - 1) = dx / (1 + x)

Теперь давайте возьмем определенный интеграл от обеих сторон:

∫(1/y - 1) dy = ∫(1/(1 + x)) dx

Интегралы можно вычислить следующим образом:

ln|y - 1| = ln|1 + x| + C

Где C - постоянная интегрирования. Теперь мы можем избавиться от логарифмов, применяя экспоненциальную функцию:

|y - 1| = |1 + x|e^C

Теперь давайте рассмотрим начальное условие: y = 1 при x = 1. Это позволяет нам найти значение константы C:

|1 - 1| = |1 + 1|e^C 0 = 2e^C

Так как левая сторона равна нулю, то и правая сторона должна быть равна нулю. Это означает, что:

e^C = 0

Это невозможно, так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю. Следовательно, это начальное условие несовместимо с уравнением, и уравнение не имеет решения с заданным начальным условием.