Question

Найти не определенные интергралы 1.(знак интерграла) Х+1/^4-✓х^3dx 2.знак интерграла sinxdx/(дробь)3-5cosx

Answer 1

1)((x+1)^5-3*x^(5/3)):5+c

Answer 2

Давайте найдем неопределенные интегралы для данных функций:

1. ∫(x + 1) / (4 - √x^3) dx

Для начала, давайте проведем некоторые замены, чтобы упростить интеграл:

Пусть u = √x, тогда u^2 = x.

Теперь дифференцируем u относительно x: du/dx = (1/2) * x^(-1/2).

Следовательно, dx = 2 * u * du.

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫(x + 1) / (4 - √x^3) dx = ∫(u^2 + 1) / (4 - u^3) * 2u du

= 2 * ∫(u^2 + 1) / (4 - u^3) du

= 2 * [∫u^2 / (4 - u^3) du + ∫1 / (4 - u^3) du]

Теперь мы можем вычислить каждый из этих интегралов по отдельности. Начнем с первого:

∫u^2 / (4 - u^3) du

Для этого интеграла проведем замену v = u^3, тогда dv = 3u^2 du:

(1/3) ∫(1 / (4 - v)) dv

Теперь интегрируем по v:

(1/3) * ln|4 - v| + C1

Теперь вернемся к переменной u:

(1/3) * ln|4 - u^3| + C1

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫1 / (4 - u^3) du

Для этого интеграла проведем другую замену w = u^3, тогда dw = 3u^2 du:

(1/3) ∫(1 / (4 - w)) dw

Интеграл этой функции аналогичен первому:

(1/3) * ln|4 - w| + C2

Теперь вернемся к переменной u:

(1/3) * ln|4 - u^3| + C2

Теперь объединим результаты:

2 * [(1/3) * ln|4 - u^3| + C1] + 2 * [(1/3) * ln|4 - u^3| + C2]

= (2/3) * ln|4 - u^3| + 2 * C1 + 2 * C2

= (2/3) * ln|4 - √x^3| + C

Таким образом, неопределенный интеграл ∫(x + 1) / (4 - √x^3) dx равен:

(2/3) * ln|4 - √x^3| + C

2. ∫sin(x) dx / (3 - 5cos(x))

Чтобы найти этот интеграл, давайте сделаем замену:

Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

Теперь дифференцируем обе стороны по u:

du = -sin(x) dx

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫sin(x) dx / (3 - 5cos(x)) = ∫-du / (3 - 5u)

Теперь интегрируем это по u:

-∫(1 / (3 - 5u)) du

Для интегрирования этой дроби, давайте разделим числитель и знаменатель на -5:

-(1/5) * ∫(1 / ((3 - 5u)/5)) du

-(1/5) * ∫(1 / (3/5 - u)) du

Теперь интегрируем:

-(1/5) * [-5 * ln|3/5 - u|] + C

Снова возвращаемся к переменной x с помощью замены u = cos(x):

-(1/5) * [-5 * ln|3/5 - cos(x)|] + C

Сокращаем -5 и -1/5:

ln|3/5 - cos(x)| + C

Таким образом, неопределенный интеграл ∫sin(x) dx / (3 - 5cos(x)) равен:

ln|3/5 - cos(x)| + C