Question

1.Решите уравнение, упростив левую часть:а)sin^2x-cos^2x=√2/2б) sin3x · cos3x=-1/2в) sin2x · cos(x-pi/3)-cos2x · sin(x-pi/3)=02.Решите уравнение сделав подстановку:а) 2cos^2x+5cosx+2=0б) 4+5cosx-2sin^2x=0в) cos2x+5cosx=0г) 3tgx-3ctgx=8

Answer 1

Если что-то не понятно скажешь

Answer 2

1.а) Решим уравнение sin^2x - cos^2x = √2/2: Перепишем его в виде sin^2x - (1 - sin^2x) = √2/2 Упростим: 2sin^2x - 1 = √2/2 Перенесем все влево: 2sin^2x - √2/2 - 1 = 0 Упростим: 4sin^2x - √2 - 2 = 0 Решим это квадратное уравнение относительно sinx: sinx = (-(-√2) ± √((-√2)^2 - 4*4*(-2))) / (2*4) sinx = (√2 ± √(2 + 32)) / 8 sinx = (√2 ± √34) / 8

б) Решим уравнение sin3x + cos3x = -1/2: Перепишем его в виде sin3x + cos3x + 1/2 = 0 Применим формулу суммы для синуса: sin3x + cos3x = sinx*cos2x + cosx*sin2x + 1/2 Упростим: sinx*cos2x + cosx*sin2x + 1/2 + 1/2 = 0 sinx*cos2x + cosx*sin2x + 1 = 0 Применим формулу двойного угла для синуса: sin2x = 2sinx*cosx sinx*cos2x + 2cosx*sinx + 1 = 0 sinx*(2cos^2x - 1) + 2cosx*sinx + 1 = 0 Упростим: 2sinx*cos^2x - sinx + 2cosx*sinx + 1 = 0 sinx*(2cos^2x + 2cosx - 1) + 1 = 0 Применим формулу двойного угла для косинуса: cos2x = 1 - 2sin^2x sinx*(2(1 - 2sin^2x) + 2cosx - 1) + 1 = 0 sinx*(4 - 4sin^2x + 2cosx - 1) + 1 = 0 Упростим: sinx*(3 - 4sin^2x + 2cosx) + 1 = 0

в) Решим уравнение sin2x*cos(x-pi/3) - cos2x*sin(x-pi/3) = 0: Применим формулу разности для синуса и косинуса: sin(a-b) = sinacosb - cosasinb sin2x*cosx*cos(pi/3) + cos2x*sinx*sin(pi/3) - cos2x*sinx*cos(pi/3) - sin2x*cosx*sin(pi/3) = 0 Упростим: sin2x*cosx*cos(pi/3) - cos2x*sinx*sin(pi/3) - cos2x*sinx*cos(pi/3) + sin2x*cosx*sin(pi/3) = 0 sin2x*cosx*(1/2) - cos2x*sinx*(√3/2) - cos2x*sinx*(1/2) + sin2x*cosx*(√3/2) = 0 1/2(sin2x*cosx - cos2x*sinx) + (√3/2)(sin2x*cosx - cos2x*sinx) = 0 (1/2 + √3/2)(sin2x*cosx - cos2x*sinx) = 0

2.а) Решим уравнение 2cos^2x + 5cosx + 2 = 0: Проведем подстановку: t = cosx Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + 5t + 2 = 0 Решим это квадратное уравнение: t = (-5 ± √(5^2 - 4*2*2)) / (2*2) t = (-5 ± √(25 - 16)) / 4 t = (-5 ± √9) / 4 t1 = (-5 + 3) / 4 = -1/2 t2 = (-5 - 3) / 4 = -2

б) Решим уравнение 4 + 5cosx - 2sin^2x = 0: Проведем подстановку: t = sinx Тогда уравнение примет вид: 4 + 5cosx - 2t^2 = 0 Решим это квадратное уравнение: t = (-5 ± √(5^2 - 4*(-2)*4)) / (2*(-2)) t = (-5 ± √(25 + 32)) / (-4) t = (-5 ± √57) / (-4)

в) Решим уравнение cos2x + 5cosx = 0: Применим формулу двойного угла для косинуса: cos2x = 1 - 2sin^2x 1 - 2sin^2x + 5cosx = 0 2sin^2x - 5cosx - 1 = 0

г) Решим уравнение 3tgx - 3ctgx = 8: Применим формулы для тангенса и котангенса: tgx = sinx/cosx, ctgx = cosx/sinx 3*sinx/cosx - 3*cosx/sinx = 8 (3sin^2x - 3cos^2x) / (sinxcosx) = 8 (3 - 3cos^2x) / (sinxcosx) = 8 3 - 3cos^2x = 8sinxcosx 3(1 - cos^2x) = 8sinxcosx 3sin^2x = 8sinxcosx 3sinx = 8cosx sinx/cosx = 8/3 tgx = 8/3 x = arctg(8/3)