Question

Решите неравенство :(x²+4)(x²-4x+3)≥0

Answer 1

Так как х² + 4 > 0 при любом х, то решение неравенства сводится к:
                                         x² - 4x + 3 ≥ 0
Найдем корни уравнения:
x² - 4x + 3 = 0     D = b²-4ac = 16-12 = 4

x₁ = (-b+√D)/2a = (4+2)/2 = 3
x₂ = (-b -√D)/2a = (4-2)/2 = 1

Тогда: (x - 3)(x - 1) ≥ 0
{ x ≥ 3        { x ≤ 3
{ x ≥ 1        { x ≤ 1

[3; ∞)          (-∞; 1]

Ответ: x∈(-∞; 1]∪[3; ∞)

Answer 2

(x² + 4)(x² - 4x + 3) ≥ 0
x² + 4 > 0 при любых значениях х, поэтому разделим обе части неравенства на это положительное число и знак неравенства при этом не изменится. Получим
x² - 4x + 3 ≥ 0
(x - 3)(x - 1) ≥ 0
         +                       -                           +
____________________________________
                    1                          3
x ∈ (- ∞ ; 1] ∪ [3 ; + ∞)

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство, начнем с его факторизации:

(x²+4)(x²-4x+3) = (x²+4)(x²-3x-x+3)

Теперь мы можем применить метод квадратного неравенства. Для этого разделим интервал числовой прямой на участки, где выражение (x²+4)(x²-3x-x+3) меняет знак. Мы рассмотрим три интервала:

1. x < -2
2. -2 < x < 1
3. x > 1

Далее, определим знак выражения (x²+4)(x²-3x-x+3) на каждом из этих интервалов.

1. x < -2:

   • Оба множителя, (x²+4) и (x²-3x-x+3), положительны, так как x² и 3x-x всегда положительны для x < -2. Поэтому произведение положительное.

2. -2 < x < 1:

   • Первый множитель, (x²+4), всегда положителен, так как x² всегда положителен.
   • Второй множитель, (x²-3x-x+3), можно факторизовать дальше: x²-3x-x+3 = (x-3)(x-1).
   • Мы видим, что x-1 отрицательно при -2 < x < 1, так как x-1 отрицательно в этом интервале.
   • Поэтому произведение отрицательное.

3. x > 1:

   • Оба множителя, (x²+4) и (x²-3x-x+3), положительны, так как x² и 3x-x всегда положительны для x > 1. Поэтому произведение положительное.

Итак, мы видим, что неравенство (x²+4)(x²-4x+3) ≥ 0 выполняется на интервалах x < -2 и x > 1, т.е. для x из интервала x < -2 и x > 1. На интервале -2 < x < 1 неравенство не выполняется.

Итак, решение неравенства: x < -2 или x > 1.