Question

На доску выписаны числа a1, a2, …, a333. Известно, что a1=5, a2=11. Найдите a333, если для любого натурального n справедливо равенство an+2=an+1–an.

Answer 1

Если выписать первые 8 элементов, то получится
5, 11, 6, -5, -11, -6, 5, 11.
Как видим, $a_7=a_1=5$ и $a_8=a_2=11$. Т.к. каждый следующий элемент однозначно определяется двумя предыдущими, то $a_9=a_3,$ $a_{10}=a_4$ и т.д. Т.е. каждые 6 элементов периодически повторяются. Т.к 333=6*55+3, то $a_{333}=a_3=6.$

Answer 2

Для нахождения значения a333, можно воспользоваться данной рекуррентной формулой:

an+2 = an+1 - an

Начнем с известных значений a1 и a2:

a1 = 5 a2 = 11

Сначала найдем a3, используя формулу:

a3 = a2 + a1 - a1 = a2

Теперь найдем a4:

a4 = a3 + a2 - a1 = a2 + a1 - a1 = a2

Таким образом, при n >= 3, значение an будет равно a2, то есть 11. Поэтому:

a333 = a2 = 11

Итак, a333 равно 11.