Question

Решите уравнение: (5х+1 / 2х-3) ^2 + (3-2х / 5х+1) ^2 = 82/9

Answer 1

Замена переменной   ((5х+1)/(2х-3))²=t,  ((3-2х/)(5х+1))²=1/t
Уравнение принимает вид:
t  + (1/t) = 82/9
или
(9t² - 82t + 9)/t = 0
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.
9t² - 82 t + 9 = 0
D= (-82)²-4·9·9=6724-324=6400=80²
t=(82-80)/18 = - 1/9      или      t=(82+80)/18=9

Возвращаемся к переменной х
1) ((5х+1)/(2х-3))²=-1/9,
   нет решений

2) (5х+1)/(2х-3)²=9,
   (5х+1)/(2х-3)= 3              или     (5х+1)/(2х-3)=-3

(5х+1)=3(2х-3)                              (5х+1)= - 3(2х-3)
 5 х + 1 = 6х - 9                              5х + 1 = - 6х + 9 
 5х - 6х = -9 - 1                              5х + 6х = 9 - 1
  - х = - 10                                      11х = 8
   х = 10                                            х= 8/11
Ответ. 8/11 ; 10

Answer 2

Давайте решим уравнение:

$$\left(\frac{5x+1}{2x-3}\right)^2 + \left(\frac{3-2x}{5x+1}\right)^2 = \frac{82}{9}$$

Сначала упростим его. Возведение в квадрат и упрощение дробей:

$$\left(\frac{5x+1}{2x-3}\right)^2 + \left(\frac{3-2x}{5x+1}\right)^2 = \frac{82}{9}$$

$$\frac{(5x+1)^2}{(2x-3)^2} + \frac{(3-2x)^2}{(5x+1)^2} = \frac{82}{9}$$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(5x+1)^2(5x+1)^2}{(2x-3)^2(5x+1)^2} + \frac{(3-2x)^2(2x-3)^2}{(5x+1)^2(2x-3)^2} = \frac{82}{9}$$

Используем общий знаменатель:

$$\frac{(5x+1)^4 + (3-2x)^4}{(2x-3)^2(5x+1)^2} = \frac{82}{9}$$

Теперь умножим обе стороны на знаменатель:

$$(5x+1)^4 + (3-2x)^4 = \frac{82}{9}(2x-3)^2(5x+1)^2$$

Далее, возведем в квадрат обе стороны:

$$(5x+1)^4 + (3-2x)^4 = \left(\frac{82}{9}(2x-3)^2(5x+1)^2\right)^2$$

Теперь у нас есть уравнение вида:

$A^4 + B^4 = C^2$

Где:

$A = 5x+1$

$B = 3-2x$

$C = \frac{82}{9}(2x-3)(5x+1)$

Это уравнение в четвертой степени. Решение такого уравнения может быть сложным и требует специальных методов. Обычно оно решается численно с использованием компьютерных программ или калькуляторов.