Question

При каких значениях m корни 3x^2+(3m-15)x-27=0 являются противоположными числами?1

Answer 1

Корни будут противоположными если их сумма равна 0, т.е. по теореме Виета, второй коэффициент должен быть равен 0. Т.е. 3m-15=0. Т.е. m=5. Но надо еще проверить, чтобы корни существовали, т.е. дискриминант был неотрицательным, что очевидно выполняется.

Answer 2

Поделим уравнение на 3:
$x^2+(m-5)x-9=0$
получили приведённое уравнение. Тогда верны формулы Виета:
$x_1+x_2=5-m, x_1\cdot{x_2}=-9$
Известно, что корни противоположные числа, что означает $x_1=-x_2$
$x_1+x_2=x_1+(-x_1)=5-m$
$0=5-m$
$m=5$

Answer 3

Чтобы найти значения m, при которых корни данного квадратного уравнения будут противоположными, нужно использовать условие, что если a и b - корни уравнения, то -a и -b также являются корнями этого уравнения.

У нас есть квадратное уравнение: $3x^2 + (3m - 15)x - 27 = 0.$

Если $a$ и $b$ - корни этого уравнения, то -a и -b также будут корнями.

Итак, у нас есть следующие корни: $x_1 = a, \quad x_2 = b, \quad x_3 = -a, \quad x_4 = -b.$

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения с коэффициентами $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$, и произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

В данном случае, сумма корней равна: $\frac{-(3m - 15)}{3} = -m + 5.$

Произведение корней равно: $\frac{-27}{3} = -9.$

Поскольку корни являются противоположными, это означает, что $a = -b$. Следовательно, $a = -b = \sqrt{-9} = 3i$, где $i$ - мнимая единица.

Таким образом, мы получаем, что: $x_1 = 3i, \quad x_2 = -3i, \quad x_3 = -3i, \quad x_4 = 3i.$

Теперь мы можем использовать формулу суммы корней, чтобы найти $m$: $-m + 5 = 0 \Rightarrow -m = -5 \Rightarrow m = 5.$

Таким образом, значения $m$, при которых корни данного уравнения являются противоположными, равны 5.