Question

Найдите все значения параметра b при которых уравнение (x²-(2b+3)x+b²+3b)/(x²-9)=0 имеет единственный корень

Answer 1

$\frac{x^2-(2b+3)x+b^2+3b}{x^2-9}=0, \\ x^2-9 \neq 0, \\ (x+3)(x-3) \neq 0, \\ x \neq -3, x \neq 3,\\ x^2-(2b+3)x+b^2+3b=0, \\ D=(-(2b+3))^2-4(b^2+3b)=(2b+3)^2-4b^2-12b=\\=4b^2+12b+9-4b^2-12b=9 \neq 0, \\ x_1=x_2, \ \ D=0, \\ b\in\varnothing.$

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо применить методы решения уравнений с параметром. Параметр в данном контексте - это переменная, которая может принимать различные значения, и мы ищем эти значения, при которых условие выполняется .

Уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид:

\[(x²-(2b+3)x+b²+3b)/(x²-9)=0\]

Чтобы уравнение имело единственный корень, оно должно быть равно нулю. Это означает, что знаменатель должен быть равен нулю, а знаменатель - нет.

Первым шагом будет найти значения параметра b, при которых знаменатель равен нулю. Это можно сделать, решив уравнение \(x²-9=0\). Решение этого уравнения дает два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -3\).

Таким образом, знаменатель равен нулю при \(x = 3\) или \(x = -3\). Подставив эти значения в уравнение, получим систему уравнений:

1. При \(x = 3\): \((3²-(2b+3)3+b²+3b)/(3²-9)=0\) 2. При \(x = -3\): \((-3²-(2b+3)(-3)+b²+3b)/(-3²-9)=0\)

Решив эту систему, найдем значения параметра b, при которых уравнение имеет единственный корень .

Обратите внимание, что при решении системы уравнений важно учесть все возможные значения параметра b, чтобы убедиться, что уравнение имеет единственный корень при всех этих значениях.