Question

При яких значеннях а функція у=4х²+5х-а набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х?

Answer 1

Ответ:

$a\in(-\infty;-\frac{25}{16})$

Объяснение:

$y=4x^2+5x-a$

Функція повинна приймати додатні значення, тому

$D < 0\\\\D=5^2-4\cdot4\cdot(-a)=25+16a\\\\25+16a < 0\\\\16a < -25\ \ \ |:16\\\\a < -\frac{25}{16}\\\\a\in(-\infty;-\frac{25}{16})$

Answer 2

Функція у = 4x² + 5x - а набуває додатних значень при всіх дійсних значеннях х, коли її дискримінант є від'ємним. Дискримінант може бути знайдений для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 за допомогою формули:

D = b² - 4ac.

У нашому випадку a = 4, b = 5, і c = -а. Тому, дискримінант буде:

D = 5² - 4 * 4 * (-а) = 25 + 16а.

Для того, щоб функція набула додатних значень при всіх дійсних значеннях х, ми хочемо, щоб дискримінант був менший або рівний нулю:

25 + 16а ≤ 0.

Тепер розв'яжемо цю нерівність:

16а ≤ -25, а ≤ -25/16.

Отже, функція у = 4x² + 5x - а набуватиме додатних значень при всіх дійсних значеннях х, коли а менше або рівне -25/16.