Question

Даю 30 баллов! Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение a|x-5|=x+1 имеет ровно один корень.

Answer 1

............................

Answer 2

Для того чтобы уравнение a|x-5| = x+1 имело ровно один корень, рассмотрим два случая: когда a > 0 и когда a < 0.

1. Случай a > 0: В этом случае уравнение a|x-5| = x+1 можно разбить на два подуравнения: a(x-5) = x+1 и -a(x-5) = x+1.

   Рассмотрим первое подуравнение: a(x-5) = x+1. Раскроем модуль: a(x-5) = x+1 при x ≥ 5 и -a(x-5) = x+1 при x < 5.

   Первое подуравнение (a(x-5) = x+1) имеет единственный корень, если левая и правая части равны при x ≥ 5: a(x-5) = x+1 ax - 5a = x+1 ax - x = 5a + 1 (a-1)x = 5a + 1

   Для a ≠ 1, это уравнение имеет единственный корень: x = (5a + 1)/(a-1).

   Рассмотрим второе подуравнение (-a(x-5) = x+1) при x < 5: -a(x-5) = x+1 ax - 5a = -x-1 ax + x = 5a - 1 (a+1)x = 5a - 1

   Для a ≠ -1, это уравнение имеет единственный корень: x = (5a - 1)/(a+1).

2. Случай a < 0: В этом случае уравнение a|x-5| = x+1 можно разбить на два подуравнения: -a(x-5) = x+1 и a(x-5) = x+1.

   Рассмотрим первое подуравнение (-a(x-5) = x+1): -a(x-5) = x+1 ax - 5a = -x-1 ax + x = 5a - 1 (a+1)x = 5a - 1

   Для a ≠ -1, это уравнение имеет единственный корень: x = (5a - 1)/(a+1).

   Рассмотрим второе подуравнение (a(x-5) = x+1) при x ≥ 5: a(x-5) = x+1 ax - 5a = x+1 ax - x = 5a + 1 (a-1)x = 5a + 1

   Для a ≠ 1, это уравнение имеет единственный корень: x = (5a + 1)/(a-1).

Таким образом, для каждого значения a, за исключением a = 1 и a = -1, уравнение a|x-5| = x+1 имеет ровно один корень.