Question

Отрезки , соединяющие середины противоположенных сторон трапеции, равны 19 и 29. Найдите основания трапеции, если углы при основании трапеции равны 78 градусам и 12 градусам

Answer 1

Ответ: 10  и 48

Объяснение:

Пусть : LE=a и FS=b - отрезки соединяющие середины противоположных сторон трапеции ABCD. Углы при основании 12° и 78°.

Проведем из точки L отрезки LM и LN параллельно  боковым сторонам трапеции.  Тогда ABLM и LNCD - параллелограммы , а значит

BL=AM=LC=ND=x.

Поскольку  параллельные отрезки образуют с  нижним основанием равные углы , то  углы при  основании MN ΔLMN , так же равны  12° и 78° . Тогда из суммы углов треугольника

∠L=180°-12°-78°=90°

Таким образом ΔLMN - прямоугольный.

Поскольку  AE=ED  и  AM=ND=x , то ME=EN

Откуда LE  медиана прямоугольного  ΔLMN на гипотенузу MN , а значит равна половине этой гипотенузы

ME=EN=LE=a

FS=b - средняя линия трапеции .

Таким образом :

FS= (AD+BC)/2

b= (2*x +2*(x+a) )/2 = x+(x+a) =2x+a = BC+a

BC=b-a - верхнее основание

AD= 2a+2x = 2a+BC =2a +b-a = b+a

Поскольку BC>0 (это отрезок) , то  b>a

А  значит b=29 ;  a=19

BC=29-19=10

AD=29+19=48

Answer 2

Давайте обозначим основания трапеции как $AB$ и $CD$, где $AB$ - более короткая основа, а $CD$ - более длинная основа.

Мы знаем, что отрезки, соединяющие середины противоположенных сторон трапеции, равны 19 и 29. Пусть $M$ и $N$ будут серединами боковых сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда:

$MN = 19$ (половина более короткой основы) и $PQ = 29$ (половина более длинной основы).

Мы также знаем, что угол $BCD$ (угол при более длинной основе) равен 78 градусам, и угол $DAB$ (угол при более короткой основе) равен 12 градусам.

Теперь давайте воспользуемся этой информацией и теоремой косинусов для нахождения оснований трапеции. Мы можем рассмотреть треугольники $BCD$ и $DAB$.

В треугольнике $BCD$, используя теорему косинусов, мы имеем:

$\cos(78^\circ) = \frac{BC^2 + CD^2 - 29^2}{2 \cdot BC \cdot CD}$

В треугольнике $DAB$, также используя теорему косинусов, мы имеем:

$\cos(12^\circ) = \frac{AB^2 + CD^2 - 19^2}{2 \cdot AB \cdot CD}$

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными ($AB$ и $CD$), и мы можем решить их совместно для нахождения значений оснований $AB$ и $CD$.