Question

Решите уравнение (2х-7)(х+1)+3(4x+1)=2(5х-2)^2-53​

Answer 1

$(2x - 7)(x + 1) + 3(4x + 1) = 2(5x - 2)^{2} - 53$

$2x^{2} + 2x - 7x - 7 + 12x + 3 = 2(25x^{2} - 20x + 4) - 53$

$2x^{2} + 7x - 4 = 50x^{2} - 40 x + 8 - 53$

$2x^{2} + 7x -4 = 50x^{2} - 40x - 45$

$48x^{2} - 47x = 41 \ \ \ | : 48$

$x^{2} - \dfrac{47}{48}x = \dfrac{41}{48}$

$x^{2} - \dfrac{47}{48}x + \left(\dfrac{47}{96} \right)^{2} = \dfrac{41}{48} + \left(\dfrac{47}{96} \right)^{2}$

$\left(x - \dfrac{47}{96} \right)^{2} = \dfrac{10081}{9216}$

Первый случай:

$x_{1} - \dfrac{47}{96} = -\sqrt{\dfrac{10081}{9216} }\\x_{1} =\dfrac{47}{96} - \dfrac{\sqrt{10081}}{96} \\x_{1} = \dfrac{47 - \sqrt{10081}}{96}$

Второй случай:

$x_{2} - \dfrac{47}{96} = \sqrt{\dfrac{10081}{9216} }\\x_{2} =\dfrac{47}{96} + \dfrac{\sqrt{10081}}{96} \\x_{2} = \dfrac{47 + \sqrt{10081}}{96}$

Ответ: $x_{1} = \dfrac{47 - \sqrt{10081}}{96}; \ x_{2} = \dfrac{47 + \sqrt{10081}}{96}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

1. Раскроем скобки: (2х - 7)(х + 1) + 3(4x + 1) = 2(5х - 2)^2 - 53

Получим: (2х^2 - 5х - 7) + (12x + 3) = 2(25х^2 - 20х + 4) - 53

2. Упростим выражения в скобках: 2х^2 - 5х - 7 + 12x + 3 = 50х^2 - 40х + 8 - 53

3. Сгруппируем подобные члены: 2х^2 + 7х - 4 = 50х^2 - 40х - 45

4. Приведем подобные члены в уравнении на одну сторону: 2х^2 + 7х - 50х^2 + 40х - 4 + 45 = 0

5. Сократим коэффициенты: -48х^2 + 47х + 41 = 0

6. Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: Дискриминант (D) вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac

В данном случае, a = -48, b = 47 и c = 41.

7. Подставим значения в формулу дискриминанта: D = 47^2 - 4(-48)(41)

После вычислений получим D = 28225 + 7936 = 36161

8. Теперь, используя значения дискриминанта, мы можем рассмотреть три случая:

a) Если D > 0, то у уравнения два различных решения. b) Если D = 0, то у уравнения одно решение с кратностью два. c) Если D < 0, то у уравнения нет решений в действительных числах.

9. Рассмотрим каждый случай отдельно:

a) D > 0: В данном случае у уравнения будет два различных решения. Мы можем использовать формулу для нахождения решений квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения: a = -48, b = 47 и D = 36161

x1 = (-47 + √36161) / (2*(-48)) x2 = (-47 - √36161) / (2*(-48))

После вычислений получим два значения для x.

b) D = 0: В данном случае у уравнения будет одно решение с кратностью два. Формула для нахождения решения будет выглядеть так:

x = -b / (2a)

Подставим значения: a = -48 и b = 47

x = -47 / (2*(-48))

После вычислений получим одно значение для x.

c) D < 0: В данном случае у уравнения нет решений в действительных числах.

10. Вычислим значения для каждого случая и получим окончательные ответы.